Arifmetika nima? Insoniyat qachon raqamlardan foydalanishni va ular bilan ishlashni boshladi? Inson hayoti va dunyoqarashining ajralmas qismiga aylangan son, kasr, ayirish, qo‘shish va ko‘paytirish kabi kundalik tushunchalarning ildizi qayerga boradi? Qadimgi yunon tafakkuri matematika, arifmetika va geometriya kabi fanlarni inson mantig'ining eng go'zal simfoniyalari sifatida hayratga solgan.
Balki arifmetika boshqa fanlar kabi chuqur emas, lekin agar odam elementar ko'paytirish jadvalini unutib qo'ysa, ular bilan nima sodir bo'ladi? Raqamlar, kasrlar va boshqa vositalardan foydalangan holda biz uchun odatiy bo'lgan mantiqiy fikrlash odamlar uchun oson bo'lmagan va ota-bobolarimiz uchun uzoq vaqt davomida mavjud bo'lmagan. Darhaqiqat, arifmetika rivojlanishidan oldin, inson bilimining hech bir sohasi haqiqatan ham ilmiy bo'lmagan.
Arifmetika bu matematikaning ABC ko'rsatkichidir
Arifmetika bu raqamlar haqidagi fan bo'lib, uning yordamida har qanday odam matematikaning maftunkor olami bilan tanishishni boshlaydi. M. V. Lomonosov aytganidek, arifmetika biz uchun dunyo bilimiga yo'l ochadigan bilim eshigidir. Lekin u haqDunyo bilimini raqamlar va harflar, matematika va nutq bilimlaridan ajratish mumkinmi? Ilm-fan va texnologiyaning jadal rivojlanishi o'z qonunlarini talab qiladigan zamonaviy dunyoda emas, balki eski kunlarda.
Grekcha "arifmetika" (yunoncha "arithmos") so'zi "son" degan ma'noni anglatadi. U raqamlarni va ular bilan bog'lanishi mumkin bo'lgan hamma narsani o'rganadi. Bu raqamlar dunyosi: raqamlar ustida turli amallar, son qoidalari, ko‘paytirish, ayirish va hokazolarga oid masalalarni yechish.
Arifmetika matematikaning dastlabki bosqichi va uning algebra, matematik tahlil, oliy matematika va boshqalar kabi murakkabroq boʻlimlari uchun mustahkam poydevor ekanligi umumiy qabul qilingan.
Arifmetikaning asosiy ob'ekti
Arifmetikaning asosi butun son boʻlib, uning xossalari va naqshlari oliy arifmetika yoki sonlar nazariyasida koʻrib chiqiladi. Darhaqiqat, butun binoning mustahkamligi - matematika - natural son kabi kichik blokni ko'rib chiqishda qanchalik to'g'ri yondashuvga bog'liq.
Shuning uchun arifmetika nima degan savolga oddiygina javob berish mumkin: bu raqamlar haqidagi fan. Ha, odatdagi etti, to'qqiz va bu xilma-xil jamoa haqida. Boshlang‘ich alifbosiz yaxshi va hatto eng o‘rtamiyona she’r yoza olmaganidek, arifmetikasiz ham elementar masalani yecha olmaysiz. Shuning uchun ham barcha fanlar arifmetika va matematika rivojlangandan keyingina rivojlandi, bundan oldin faqat taxminlar to'plami edi.
Arifmetika - bu xayoliy fan
Arifmetika nima - tabiiy fan yoki fantom? Aslida, qadimgi yunon faylasuflari ta'kidlaganidek, haqiqatda na raqamlar, na raqamlar mavjud. Bu shunchaki atrof-muhitni jarayonlari bilan ko'rib chiqishda inson tafakkurida yaratilgan xayoldir. Darhaqiqat, raqam nima? Atrofimizdagi hech bir joyda biz raqam deb atash mumkin bo'lgan bunday narsani ko'rmaymiz, aksincha, raqam inson ongining dunyoni o'rganish usulidir. Yoki bu o'zimizni ichimizdan o'rganishdir? Faylasuflar bu haqda ko'p asrlar davomida ketma-ket bahslashdilar, shuning uchun biz to'liq javob berishga majbur emasmiz. Qanday bo'lmasin, arifmetika o'z o'rnini shu qadar mustahkam egallashga muvaffaq bo'ldiki, zamonaviy dunyoda uning asoslarini bilmasdan turib, hech kimni ijtimoiy moslashgan deb hisoblash mumkin emas.
Natural son qanday paydo boʻlgan
Albatta, arifmetika ishlaydigan asosiy ob'ekt natural sondir, masalan, 1, 2, 3, 4, …, 152… va hokazo. Natural sonlar arifmetikasi oddiy jismlarni, masalan, o'tloqdagi sigirlarni sanash natijasidir. Shunday bo'lsa-da, "ko'p" yoki "oz" ta'rifi bir vaqtlar odamlarga mos kelmay qoldi va ular yanada ilg'or hisoblash texnikasini ixtiro qilishga majbur bo'ldilar.
Ammo haqiqiy yutuq inson fikri 2 kilogramm, 2 g'isht va 2 qismni bir xil "ikki" raqami bilan belgilash mumkin bo'lgan darajaga etganida sodir bo'ldi. Gap shundaki, siz ob'ektlarning shakllari, xususiyatlari va ma'nosidan mavhumlashtirishingiz kerak, keyin siz ushbu ob'ektlar bilan natural sonlar shaklida ba'zi harakatlarni bajarishingiz mumkin. Shunday qilib, raqamlar arifmetikasi paydo bo'ldiyanada rivojlandi va kengayib, jamiyat hayotida tobora katta o'rinlarni egalladi.
Sonning nol va manfiy sonlar, kasrlar, raqamlar bilan belgilanishi va boshqa usullar kabi chuqur tushunchalar boy va qiziqarli rivojlanish tarixiga ega.
Arifmetik va amaliy misrliklar
Atrofimizdagi dunyoni o'rganish va kundalik muammolarni hal qilishda eng qadimgi ikki inson hamrohlari arifmetika va geometriyadir.
Arifmetika tarixi Qadimgi Sharqda: Hindiston, Misr, Bobil va Xitoyda boshlangan deb ishoniladi. Shunday qilib, 20-asrga oid Misrdan kelib chiqqan Rinda papirusi (u bir xil nom egasiga tegishli bo'lgani uchun shunday nomlangan). BC, boshqa qimmatli ma'lumotlarga qo'shimcha ravishda, bir kasrni har xil maxrajli kasrlar yig'indisiga va birga teng bo'lgan hisoblagichga kengaytirishni o'z ichiga oladi.
Masalan: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Ammo bunday murakkab parchalanishning nima keragi bor? Gap shundaki, Misr yondashuvi raqamlar haqidagi mavhum fikrlarga toqat qilmagan, aksincha, hisob-kitoblar faqat amaliy maqsadlar uchun qilingan. Ya'ni, misrlik, masalan, qabr qurish uchungina hisob-kitoblar bilan shug'ullanadi. Strukturaning chetining uzunligini hisoblash kerak edi va bu odamni papirus orqasida o'tirishga majbur qildi. Ko'rib turganingizdek, Misrning hisob-kitoblardagi muvaffaqiyatiga fanga bo'lgan muhabbat emas, balki ommaviy qurilish sabab bo'lgan.
Shuning uchun papiruslarda topilgan hisob-kitoblarni kasrlar mavzusidagi mulohazalar deb atash mumkin emas. Ehtimol, bu kelajakda yordam beradigan amaliy tayyorgarlikdir.kasrlar bilan masalalar yechish. Ko'paytirish jadvallarini bilmagan qadimgi misrliklar ancha uzoq hisob-kitoblarni amalga oshirib, ko'plab kichik vazifalarga bo'lingan. Ehtimol, bu pastki vazifalardan biri. Bunday ish qismlari bilan hisob-kitoblar juda mashaqqatli va umidsiz ekanligini ko'rish oson. Balki shuning uchun ham biz Qadimgi Misrning matematika rivojiga qo'shgan ulkan hissasini ko'rmayapmiz.
Qadimgi Yunoniston va falsafiy arifmetika
Qadimgi Sharq haqidagi ko'plab bilimlarni qadimgi yunonlar, mavhum, mavhum va falsafiy mulohazalarni mashhur sevuvchilar muvaffaqiyatli o'zlashtirgan. Ular amaliyotga ham qiziqmasdi, lekin eng yaxshi nazariyotchi va mutafakkirlarni topish qiyin. Bu ilm-fanga foyda keltirdi, chunki arifmetikani voqelikdan ajratmasdan o'rganish mumkin emas. Albatta, siz 10 sigir va 100 litr sutni ko'paytirishingiz mumkin, lekin unchalik uzoqqa bormaysiz.
Tek fikrli yunonlar tarixda katta iz qoldirdi va ularning asarlari bizgacha yetib keldi:
- Evklid va elementlar.
- Pifagor.
- Arximed.
- Eratosthenes.
- Zeno.
- Anaksagor.
Va, albatta, hamma narsani falsafaga aylantirgan yunonlar va ayniqsa Pifagor ijodining davomchilari raqamlarga shunchalik maftun bo'lganki, ularni dunyo uyg'unligining siri deb bilishgan. Raqamlar shu darajada o'rganilgan va tadqiq qilinganki, ularning ba'zilariga va ularning juftlariga maxsus xususiyatlar berilgan. Masalan:
- Mukammal sonlar - bu sonning oʻzidan (6=1+2+3) tashqari barcha boʻluvchilarning yigʻindisiga teng boʻlgan sonlardir.
- Doʻst raqamlar bu raqamlar boʻlib, ulardan biriikkinchisining barcha bo'luvchilari yig'indisiga teng va aksincha (pifagorchilar faqat bitta juftlikni bilishgan: 220 va 284).
Ilmni foyda uchun emas, uni sevish kerak, deb bilgan yunonlar, kashf qilish, o'ynash va raqamlarni qo'shish orqali katta muvaffaqiyatlarga erishdilar. Shuni ta'kidlash kerakki, ularning barcha tadqiqotlari keng qo'llanilmagan, ba'zilari faqat "go'zallik uchun" qolgan.
Oʻrta asrlar Sharq mutafakkirlari
Xuddi o’rta asrlarda arifmetika ham o’zining rivojlanishi uchun Sharq zamondoshlariga qarzdor. Hindlar bizga biz faol foydalanadigan raqamlarni, masalan, "nol" tushunchasini va zamonaviy idrok uchun tanish bo'lgan hisobning pozitsion versiyasini berishdi. 15-asrda Samarqandda ishlagan Al-Koshidan biz oʻnli kasrlarni meros qilib oldik, ularsiz zamonaviy arifmetikani tasavvur qilish qiyin.
Yevropaning Sharq yutuqlari bilan tanishishi koʻp jihatdan italyan olimi Leonardo Fibonachchining “Abak kitobi” asarini yozgan Sharq yangiliklarini joriy qilgan mehnati tufayli mumkin boʻldi. Bu Yevropada algebra va arifmetika, tadqiqot va ilmiy faoliyatning rivojlanishining asosiga aylandi.
Rus arifmetikasi
Va nihoyat, Yevropada o’z o’rnini topib, ildiz otgan arifmetika rus yerlariga tarqala boshladi. Birinchi rus arifmetikasi 1703 yilda nashr etilgan - bu Leonti Magnitskiyning arifmetika haqidagi kitobi edi. Uzoq vaqt davomida u matematika bo'yicha yagona darslik bo'lib qoldi. Unda algebra va geometriyaning dastlabki momentlari mavjud. Rossiyadagi birinchi arifmetika darsligi misollarida ishlatilgan raqamlar arabcha. Arab raqamlari ilgari 17-asrga oid gravyuralarda koʻrilgan.
Kitobning oʻzi Arximed va Pifagor tasvirlari, birinchi varaqda esa ayol qiyofasidagi arifmetika tasviri bilan bezatilgan. U taxtda o‘tiradi, uning ostida ibroniy tilida Xudoning ismini bildiruvchi so‘z yozilgan, taxtga olib boruvchi zinapoyalarga esa “bo‘linish”, “ko‘paytirish”, “qo‘shish” va hokazolar yozilgan. Bular endi odatiy hol deb hisoblanadi.
600 betlik darslik qoʻshish va koʻpaytirish jadvallari kabi asoslarni hamda navigatsiya fanlaridagi ilovalarni oʻz ichiga oladi.
Muallif o’z kitobi uchun yunon mutafakkirlari obrazlarini tanlagan bo’lsa ajabmas, chunki uning o’zi ham arifmetikaning go’zalligiga mahliyo bo’lib: “Arifmetika – sanoq, san’at bor halol, havas qilmas…” degan edi.. Arifmetikaga bunday yondashuv o'zini oqladi, chunki aynan uning keng joriy etilishini Rossiyada ilmiy fikr va umumiy ta'limning jadal rivojlanishining boshlanishi deb hisoblash mumkin.
Oddiy asosiy sonlar
Tub son bu faqat 2 ta musbat boʻluvchiga ega boʻlgan natural son: 1 va oʻzi. 1 dan tashqari barcha boshqa raqamlar kompozitsion raqamlar deb ataladi. Tut sonlarga misollar: 2, 3, 5, 7, 11 va 1 va oʻzidan boshqa boʻluvchisi boʻlmagan boshqa barcha raqamlar.
1-raqamga kelsak, u maxsus hisobda - na oddiy, na kompozit deb hisoblanishi kerakligi haqida kelishuv mavjud. Bir qarashda oddiy, oddiy raqam o‘zida ko‘plab yechilmagan sirlarni yashiradi.
Evklid teoremasi cheksiz tub sonlar mavjudligini aytadi va Eratosfen tub boʻlmagan sonlarni yoʻqotib, faqat oddiy sonlarni qoldiradigan maxsus arifmetik “elak” ixtiro qildi.
Uning mohiyati birinchi chizilmagan sonning tagiga chizish, keyin esa unga karrali sonlarni chizishdir. Biz bu tartibni ko'p marta takrorlaymiz - va biz tub sonlar jadvalini olamiz.
Arifmetikaning asosiy teoremasi
Tub sonlar haqidagi kuzatishlar ichida arifmetikaning asosiy teoremasini alohida tilga olish kerak.
Arifmetikaning asosiy teoremasi shuni aytadiki, 1 dan katta boʻlgan har qanday butun son yoki tub son boʻladi yoki uni omillar tartibiga qadar va oʻziga xos tarzda tub sonlar koʻpaytmasiga ajratish mumkin.
Arifmetikaning asosiy teoremasi ancha og'ir ekanligi isbotlangan va uni tushunish endi eng oddiy asoslarga o'xshamaydi.
Bir qarashda tub sonlar elementar tushunchadir, lekin unday emas. Fizika ham bir vaqtlar atomni elementar deb hisoblagan, to u uning ichida butun olamni topmaguncha. Matematik Don Tzagirning "Birinchi ellik million tub sonlar" ajoyib hikoyasi tub sonlarga bag'ishlangan.
"Uch olma"dan deduktiv qonunlarga
Haqiqatan ham barcha fanlarning mustahkam poydevori deb arifmetika qonunlaridir. Hatto bolaligida ham hamma qo'g'irchoqlarning oyoqlari va qo'llari sonini o'rganib, arifmetika bilan duch keladi,kublar, olmalar va boshqalar soni. Biz arifmetikani shunday o'rganamiz, keyin esa murakkabroq qoidalarga kiradi.
Bizning butun hayotimiz bizni arifmetika qoidalari bilan tanishtiradi, ular oddiy odam uchun ilm-fan bergan narsalarning eng foydalisiga aylandi. Raqamlarni o'rganish - bu "arifmetik-baby" bo'lib, u odamni erta bolalik davrida raqamlar ko'rinishidagi raqamlar dunyosi bilan tanishtiradi.
Oliy arifmetika - arifmetika qonunlarini o'rganuvchi deduktiv fan. Biz ularning koʻpchiligini bilamiz, lekin ularning aniq soʻzlarini bilmasligimiz mumkin.
Qoʻshish va koʻpaytirish qonuni
Ikkita har qanday natural son a va b a+b yig’indisi sifatida ifodalanishi mumkin, bu ham natural son bo’ladi. Qoʻshish uchun quyidagi qonunlar qoʻllaniladi:
- Komutativ, ya'ni shartlarni qayta joylashtirishdan yig'indi o'zgarmasligini yoki a+b=b+a.
- Assotsiativ, ya'ni yig'indi atamalarning joylarda guruhlanganligiga bog'liq emas yoki a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Arifmetika qoidalari, masalan, qoʻshish, eng oddiy qoidalar qatoriga kiradi, lekin ular kundalik hayotni hisobga olmaganda, barcha fanlar tomonidan qoʻllaniladi.
Ikkita har qanday natural son a va b ab yoki ab koʻpaytmasi sifatida ifodalanishi mumkin, bu ham natural sondir. Mahsulotga qoʻshish bilan bir xil kommutativ va assotsiativ qonunlar qoʻllaniladi:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Qiziqqo'shish va ko'paytirishni birlashtiruvchi qonun mavjudligi, uni taqsimlash yoki taqsimlash qonuni ham deyiladi:
a(b+c)=ab+ac
Bu qonun aslida bizni qavslarni kengaytirish orqali ishlashga o'rgatadi, shuning uchun biz murakkabroq formulalar bilan ishlashimiz mumkin. Bu qonunlar bizni algebraning g'alati va murakkab olamida yo'n altiradi.
Arifmetik tartib qonuni
Tartib qonuni inson mantig'i tomonidan har kuni soatlarni solishtirish va banknotlarni sanashda qo'llaniladi. Va shunga qaramay, uni maxsus formulalar shaklida rasmiylashtirish kerak.
Agar bizda ikkita natural son a va b boʻlsa, quyidagi variantlar mumkin:
- a teng b, yoki a=b;
- a b dan kichik yoki < b;
- a b dan katta yoki > b.
Uchta variantdan faqat bittasi adolatli bo'lishi mumkin. Buyurtmani boshqaradigan asosiy qonun shunday deydi: agar a < b va b < c bo'lsa, a< c.
Koʻpaytirish va qoʻshish tartibi bilan bogʻliq qonunlar ham mavjud: agar a< b boʻlsa, a + c < b+c va BC<.
Arifmetika qonunlari bizni raqamlar, belgilar va qavslar bilan ishlashga o'rgatadi, hamma narsani raqamlarning uyg'un simfoniyasiga aylantiradi.
Pozitsion va nopozitsion hisob
Aytish mumkinki, raqamlar matematik til bo'lib, uning qulayligiga ko'p narsa bog'liq. Turli tillar alifbosi kabi bir-biridan farq qiladigan ko'plab sanoq tizimlari mavjud.
Pozitsiyaning miqdoriy qiymatga ta'siri nuqtai nazaridan sanoq tizimlarini ko'rib chiqamiz.bu pozitsiyadagi raqamlar. Masalan, Rim tizimi pozitsiyali emas, bunda har bir raqam ma'lum maxsus belgilar to'plami bilan kodlangan: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Ular mos ravishda 1 raqamlariga teng. / 5/10/50/100/500/ 1000. Bunday tizimda raqam qaysi pozitsiyada ekanligiga qarab miqdoriy ta'rifini o'zgartirmaydi: birinchi, ikkinchi va hokazo. Boshqa raqamlarni olish uchun siz asosiy raqamlarni qo'shishingiz kerak. Masalan:
- DCC=700.
- CCM=800.
Arab raqamlaridan foydalangan holda bizga koʻproq tanish boʻlgan sanoq tizimi pozitsion hisoblanadi. Bunday tizimda raqamning raqami raqamlar sonini aniqlaydi, masalan, uch xonali raqamlar: 333, 567 va boshqalar. Har qanday raqamning og'irligi u yoki bu raqam joylashgan pozitsiyaga bog'liq, masalan, ikkinchi pozitsiyadagi 8 raqami 80 qiymatiga ega. Bu o'nlik sanoq sistemasiga xosdir, masalan, boshqa pozitsion tizimlar mavjud., ikkilik.
Ikkilik arifmetika
Biz bir xonali va koʻp xonali raqamlardan tashkil topgan oʻnlik sanoq tizimi bilan tanishmiz. Ko'p xonali raqamning chap tomonidagi raqam o'ngdagidan o'n barobar ko'proq ahamiyatga ega. Xullas, biz 2, 17, 467 va hokazolarni o‘qishga o‘rganib qolganmiz… “Ikkilik arifmetika” deb nomlangan bo‘lim butunlay boshqacha mantiq va yondashuvga ega. Buning ajablanarli joyi yo'q, chunki binar arifmetika inson mantig'i uchun emas, balki kompyuter mantig'i uchun yaratilgan. Agar raqamlar arifmetikasi ob'ektning xususiyatlaridan "yalang'och" arifmetikaga olib tashlangan ob'ektlarni hisoblashdan kelib chiqqan bo'lsa, unda bu kompyuter bilan ishlamaydi. Ulashish imkoniyatiga ega bo'lish uchunKompyuter bilimi tufayli odam hisobning bunday modelini ixtiro qilishi kerak edi.
Binar arifmetika faqat 0 va 1 dan iborat ikkilik alifbo bilan ishlaydi. Va bu alifbodan foydalanish ikkilik tizim deb ataladi.
Ikliklik arifmetika va oʻnlik arifmetika oʻrtasidagi farq shundan iboratki, chap tomondagi pozitsiyaning ahamiyati endi 10 emas, balki 2 marta. Ikkilik sonlar 111, 1001 va hokazo ko'rinishda bo'ladi. Bunday raqamlarni qanday tushunish mumkin? Shunday qilib, 1100 raqamini ko'rib chiqing:
- Chapdagi birinchi raqam 18=8, to'rtinchi raqam, ya'ni uni 2 ga ko'paytirish kerakligini eslab, biz 8-pozitsiyani olamiz.
- Ikkinchi raqam 14=4 (4-pozitsiya).
- Uchinchi raqam 02=0 (2-pozitsiya).
- Toʻrtinchi raqam 01=0 (1-pozitsiya).
- Demak, bizning raqamimiz 1100=8+4+0+0=12.
Ya'ni, chap tomonda yangi raqamga o'tishda uning ikkilik tizimdagi ahamiyati 2 ga, o'nlik sanoqda esa 10 ga ko'paytiriladi. Bunday tizimda bitta minus mavjud: bu juda katta o'sishdir. raqamlarni yozish uchun zarur bo'lgan raqamlar. Oʻnli sonlarni ikkilik sonlar sifatida koʻrsatish misollarini quyidagi jadvalda topish mumkin.
Ikkilik shakldagi oʻnlik sonlar quyida koʻrsatilgan.
Ham sakkizlik, ham oʻn oltilik tizimlar ham ishlatiladi.
Bu sirli arifmetika
Arifmetika, "ikki marta ikki" yoki raqamlarning o'rganilmagan sirlari nima? Ko'rib turganingizdek, arifmetika bir qarashda oddiy ko'rinishi mumkin, ammo uning ko'zga ko'rinmas qulayligi aldamchi. Uni Owl xola bilan birga bolalar ham o'rganishlari mumkinmultfilmi "Arifmetika-chaqaloq" va siz deyarli falsafiy tartibni chuqur ilmiy izlanishga sho'ng'ishingiz mumkin. Tarixda u narsalarni sanashdan raqamlarning go'zalligiga sig'inishga o'tdi. Faqat bir narsa aniq ma'lum: arifmetikaning asosiy postulatlari o'rnatilishi bilan barcha fanlar uning kuchli yelkasiga tayanishi mumkin.
