Differentsiya va integratsiya: ta'rifi, tushunchasi, shakllari

2024 Muallif: Angel Austin | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-01-08 04:59

Differentsiya va integratsiya hosilalarni oʻz ichiga olgan tenglamadir. Ikkinchisi, agar biz matematik xususiyatlarga rioya qilsak, oddiy va xususiy bo'linadi. Hosilalar o‘zgarish tezligini ifodalaydi, differensial tenglama esa yechim jarayonida doimiy o‘zgarib turadigan va yangi o‘zgaruvchilarni hosil qiluvchi miqdor o‘rtasidagi munosabatni tavsiflaydi.

Universitet professori integrallar bilan murakkab amallarni osongina boshqarishi, ularni bir butunga aylantirishi va keyin hisobni teskari usul bilan isbotlashi mumkin. Biroq, murakkab formulalar tafsilotlarini tezda eslab qolish qobiliyati hamma uchun ham mavjud emas, shuning uchun xotirani yangilash yoki yangi materialni kashf qilish tavsiya etiladi.

Ma'nosi va asosiy qo'llanilishi

Ilmiy adabiyotlarda hosila funksiyani oʻzgaruvchilaridan biriga qarab oʻzgartirish tezligi deb taʼriflanadi. Differentsiatsiya hisobning mohiyati bo'lib, uni nuqtaga tegish izlanish boshlanishi bilan solishtirish mumkin. Ma'lumki, ikkinchisi har xil turlarga ega vaqidirish uchun hisoblash formulalarini talab qiladi. Aytaylik, sizga P nuqtadagi grafaga teginish qiyaligini topish kerak. Buni qanday qilish kerak? Belgilangan ob'ekt bo'ylab yoysimon chiziq chizish va biz ajratilgan chiziqqa ega bo'lgunimizcha uni yuqoriga ko'tarish kifoya.

X dagi f funktsiya x=a nuqtada differentsiallanuvchi deyiladi, agar f '(a) hosilasi uning sohasining har bir belgisida mavjud bo'lsa. Misol keltiramiz:

f '(a)=lim (h=0) × f(a + h) – f(a)/h

Tenglamani funksiyalarni differentsiallash va integrallashga bo'ysundirish uchun uning joylashuvi istalgan x nuqtada mumkin bo'lishi uchun uni to'xtatmaslik kerak. Oldindan sxematik tasvirni qurish orqali siz bayonotning to'g'riligini tekshirishingiz mumkin. Shuning uchun f'(x) domeni uning chegaralari mavjudligi bilan belgilanadi.

Faraz qilaylik, y=f(x) x ning funksiyasi, f(x) ning hosilasi dy/dx sifatida berilgan. Shuningdek, u chiziqli tenglama sifatida aniqlanadi, bu erda y bo'yicha kerakli ma'lumotlarni topish kerak.

Ammo, agar biz birinchi holatda y ning hosilasini qidirsak, keyingi holatda x ning f(x) ni topishimiz kerak.

d/dx × (f(x)) l_a yoki df/dx l_a

Demak, f(x) funksiyaning uning yuzasida yotgan a nuqtadagi x ga nisbatan oʻzgarish tezligini belgilash.

Agar biz oʻz sohasi boʻyicha differentsiallanuvchi f' hosilasini bilsak, uning f qiymatini topishimiz mumkin. Integral hisobda f funktsiyaning anti-hosilasi yoki primitivini f' deb ataymiz. Uni hisoblash usuli antidifferentsiatsiya deb nomlanadi.yoki integratsiya.

Turlar va shakllar

Mustaqilga nisbatan bog’liq o’zgaruvchining hosilalarini o’z ichiga olgan bir yoki bir nechta shartli tenglama differensial deb ataladi. Boshqacha qilib aytganda, u hal qilish jarayonida oʻzgarishi mumkin boʻlgan oddiy yoki shaxsiy sonli qiymatlar toʻplamidan iborat.

Hozirda differensial tenglamalarning quyidagi turlari mavjud.

Oddiy. Oʻzgaruvchiga bevosita bogʻliq boʻlgan oddiy tenglik:

dy/dx + 5x=5y

Qisman hosilalar:

dy/dx + dy/dt=x³-t³

d²y/dx² – c² × d² y/dt²

Eng yuqori koeffitsient. Bu tur differensial tenglama tartibida ishtirok etish bilan tavsiflanadi, quyidagi misolda ko'rsatilganidek, u 3 ga teng. Raqam mavjud bo'lganlarning eng kattasi hisoblanadi:

d³y/dx^{2 + 5 × dy/dx + y=√x}

Funksiyalar bir nechta shaklga ega boʻlishi mumkin, biroq xarakterli integratsiya va farqlash formulalari bilan bitta qoʻshtirnoqdan foydalanish maʼqul.

y’=dy/dx

y''=d²y/dx²

y'''=d³y/dx³

Chiziqli. Tenglamadagi o'zgaruvchi birning kuchiga ko'tariladi. Bunday funktsiyaning grafigi odatda to'g'ri chiziqdir. Masalan, (3x + 5), lekin (x³ + 4x^{2) bu turdagi emas, chunki u boshqa yechim talab qiladi.}

dy/dx + xy=5x

Nochiziqli. Tenglikni olishning ikki yo'li bilan ketma-ketliklarning har qanday integratsiyasi va differentsiatsiyasi - ko'rib chiqilgan shaklga qarang:

d²y/dx^{2- ln y=10}

Tezkor natijalarga erishish usullari

Olingan bilimlarni amalda qanday qilib engish va qo'llash mumkinligini aniqlash uchun shaklga qarashning o'zi etarli emas. Hozirda differensial tenglamani yechishning bir qancha usullari mavjud.

Bu:

1. Oʻzgaruvchini ajratish. Misol dy / dx=f(y) g(x) shaklida chizilishi mumkin bo'lganda bajariladi. O'ziga xoslik shundaki, f va g ularning qiymatlariga tegishli bo'lgan funktsiyalardir. Shu sababli, masalani o'zgartirish kerak: 1/ f(y) dy=g(x) dx. Shundan keyingina keyingi elementga o‘ting.
2. Integratsiya omili usuli. Misol dy / dx + p(x) y=q(x) bo'lganda ishlatiladi, bu erda p va q faqat x funksiyasi.

Birinchi tartibli differensial hisoblar y'+ P(x) y=Q(x) ga oʻxshaydi, chunki ular zarur funksiyalarni va y ning hosilasini oʻz ichiga oladi. Nomning keyingi ko'payishi xuddi shu printsip asosida ishlaydi. Masalan, nomaʼlum funksiyaning hosilalari ham xususiy, ham oddiy boʻlishi mumkin.

Noaniq integrallar

Agar siz sayrga chiqqaningizda, vaqtga qarab velosipedingiz tezligi berilsa - sarflangan daqiqalar orqali bosib o'tgan masofani hisoblay olasizmi? Bu vazifa juda katta yuk kabi ko'rinadi, lekin integrallarnatijaga erishish uchun bu xususiyatlarni iloji boricha samarali tarzda engishga yordam bering.

Ilmiy adabiyotlarda ular farqlanishning teskari tomoni ekanligi ta'kidlanadi. Darhaqiqat, integratsiya narsalarni bir-biriga qo'shish usulidir. U zarralarni bir-biriga bog'lab, yangi narsani - butunlikni yaratadi. Har qanday shunga o'xshash misolda asosiy narsa noaniq integrallarni topish va differensiallash orqali integrallash natijalarini tekshirishdir. Bu keraksiz xatolardan qochishga yordam beradi.

Agar siz biron bir tasodifiy egri chiziqning maydonini topmoqchi bo'lsangiz, masalan, y=f(x), bu usuldan foydalaning. Yodda tutingki, faqat ehtiyotkorlik sizni xatodan qutqaradi.

Yechim formulalari

Demak, differentsiallash va integratsiyaning asosiy tushunchasi - funksiyalar orqali teskari hisoblash bilan tanishib, ba'zi bir asoslarni qisqacha ko'rib chiqish kerak. Ular quyida keltirilgan.

Asosiy hisoblash qoidalari

F (x) kabi integral funksiyalarni tenglikka osonlikcha aylantirish mumkin, agar tenglama quyidagicha ifodalansa:

∫ f(x) dx=F(x) + C.

Bu yerda F (x) antiderivativ yoki primitiv deyiladi. f(x) - integral. dx - qo'shimcha raqamli agent sifatida ishlaydi. C integral yoki ixtiyoriy doimiydir. x - tenglik tomoniga qarab harakat qiladi.

Yuqoridagi gapdan xulosa qilishimiz mumkinki, qatorlarning integratsiyasi va differentsiatsiyasi ikki qarama-qarshi jarayondir. Birgalikda ular maqsadli operatsiyalar turlaridan biri sifatida harakat qilishaditenglamaning o'zida bajarilgan yakuniy natijani olish.

Endi biz hisobning xususiyatlari haqida koʻproq maʼlumotga ega boʻlganimiz sababli, keyingi tushunish uchun zarur boʻlgan asosiy farqlarni ajratib koʻrsatish tavsiya etiladi:

1. Differentsiya va integratsiya bir vaqtda chiziqlilik qoidalarini qondirishi mumkin.
2. Operatsiyalar eng toʻgʻri yechim topishga qaratilgan, biroq ular qaror qabul qilishda cheklovlarni nazarda tutadi.
3. Koʻpnomli misolni differensiallashda natija funksiya darajasidan 1 ga kam boʻladi, integrallashda esa olingan natija boshqasiga aylantirilib, aksincha harakat qiladi.
4. Ikki turdagi yechim, avval aytib o'tilganidek, bir-biriga qarama-qarshidir. Ular integratsiya va differentsiatsiya formulalari yordamida hisoblanadi.
5. Har qanday funktsiyaning hosilasi yagonadir, lekin boshqa tomondan, bitta misolda ikkita integral doimiy bilan farq qilishi mumkin. Aynan shu qoida topshiriqlarni bajarishda asosiy qiyinchilikni keltirib chiqaradi.
6. Hosilalar bilan ishlaganda, biz bir nuqtada hosilalarni ko'rib chiqishimiz mumkin. Integrallarga o'xshab, ular intervalda funksiyalarni ta'minlaydi.
7. Geometrik jihatdan hosila miqdorning boshqasiga nisbatan oʻzgarish tezligini tavsiflaydi, noaniq integral esa egri chiziqni ifodalaydi. U parallel yoʻnalishda yotqizilgan va qirrali chiziqlar oʻzgaruvchini ifodalovchi oʻqga ortogonal boʻlgan boshqa chiziqlar bilan kesishganda ham tangenslarga ega.

Qoʻshish usullari

Agar siz yigʻindini qanday qoʻllashda muammoga duch kelsangizIntegratsiyani differentsiallashning matematik operatsiyalari uchun siz asosiy formulalar bilan diqqat bilan tanishishingiz kerak. Ular o'qitishda aksiomadir, shuning uchun ular hamma joyda qo'llaniladi. E'tibor bering, o'z misollaringizga qo'llanilganda, formulalar faqat i=1 bilan boshlansa to'g'ri bo'ladi.

Qism-qism yechim

Ba'zan funksiya yakuniy natijaga erishish va tenglik shartlarini qondirish uchun nostandart yondashuvni talab qiladi. Qatlamlarning muddatlar bo‘yicha integrasiyasi va differensiallanishi o‘ziga xoslikka asoslanadi, u quyidagicha ifodalanadi: ∫ f(x) g'(x) dx=f (x) g(x) - ∫ f'(x) g(x) dx

Ko'rib chiqilayotgan texnikaning algoritmi quyidagicha ko'rinadi:

1. Integratsiyalashgan funksiyani ikkita ifoda hosilasi sifatida ifodalang. Ulardan birini f (x), ikkinchisini g' (x) bilan belgilaymiz.
2. Endi birinchi xatboshida qoʻllanilishi mumkin boʻlgan yana ikkita formulani aniqlashga oʻting. Chiziq o'zgaradi. Differensiallash orqali f(x) ifodalarni olish uchun f '(x) ni o'zgartiramiz. Keling, boshqa qismga o'tamiz - g (x) g'(x) ga integrallashgan. Bu holda dx asl ko'rinishida qoladi va ishlatilmaydi.
3. Qabul qilingan ifodalarni formulaga qismlarga bo'lib kiriting. Bu jarayonni yakunlaydi va endi siz oʻng tomonda yangi integralni baholashga urinib koʻrishingiz mumkin, chunki uni tushunish ancha osonlashdi.

Avvalroq bu usul matritsa yordamida qismlar boʻyicha integratsiyani oʻz ichiga olgan. Usul muvaffaqiyatli bo'ldi, lekin ko'p vaqt talab qildi, chunki hozirgi vaqtda u kamroq qo'llaniladi, maxsusyechim topish deyarli mumkin bo'lmagan holatlar. Buning uchun birinchi qatorga f va g' ni qo'ying, ikkinchi qatorga f ' va g ni hisoblang.

Nega bizga qismlar boʻyicha integratsiya kerak?

Vaziyatlar boshqacha bo'ladi. Ba'zida echimlar birinchi qarashda bo'lgani kabi ancha qiyin. Shuning uchun kuch qatorlarini muddatlar bo'yicha integratsiya va differensiallashda tez-tez uchraydigan asosiy muammolarni ajratib ko'rsatish kerak. Ikkita asosiy qoidani ko'rib chiqing.

Birinchidan, biz integrallashmoqchi boʻlgan qismni, yaʼni g '(x) uchun tanlangan qismini oʻzgartira olishimiz kerak. Buni imkon qadar tezroq qilish muhimdir. Gap shundaki, g uchun kompleks integratsiya kamdan-kam hollarda murakkablikni oshiruvchi takomillashtirilgan integralga olib keladi. Bularning barchasi qarorlar qabul qilishda harakatlarimiz erkinligiga salbiy ta'sir qiladi, shuningdek, kuchlar, sinuslar va kosinuslarga bog'liq. To'g'ri javobni topish uchun vaqt kerak bo'lsin, lekin chalkash javobga emas, to'g'riga olib boring.

Ikkinchidan, qolgan hamma narsa, ya'ni biz F ni farqlash va belgilamoqchi bo'lgan qism transformatsiyadan keyin sezilarli darajada ajralib turishi kerak. Oddiy protseduradan so'ng biz yangi integral o'zidan oldingisiga qaraganda ancha soddalashtirilganligini sezamiz.

Shunday qilib, biz ikkita qoidani birlashtirganimizda va uni hal qilish uchun ishlatganimizda, biz kuch funktsiyalarining differentsiatsiyasi va integratsiyasidan foydalanish imkoniyatiga ega bo'lamiz, buni qismlarga bo'lib ko'rib chiqish mantiqiy.

X-ni olib tashlashning bir usuli ham mavjud, bu sizga turli xil transformatsiyalardan samarali foydalanish imkonini beradi.vaziyatlar. Masalan, funktsiyani polinomga ko'paytirish orqali osongina integrallashimiz mumkin, biz uni differentsiallash orqali bekor qilamiz.

∫ x^{2 sin(3x) dx}

∫ x^{7 cos(x) dx}

∫x⁴ e^{4x dx}

F uchun biz x ning kuchini olamiz (umumiy holatda ko'phad), shuningdek, g' dan foydalanamiz. Shubhasiz, har bir differentsiatsiya raqam darajasini bir marta kamaytiradi, shuning uchun agar misolda u etarlicha yuqori bo'lsa, bir necha marta muddatli integratsiyani qo'llang. Bu vaqtni tejashga yordam beradi.

Ba'zi tenglamalarning murakkabligi

Bu holda biz kuch qatorlarini differensiatsiyalash va integratsiyalash haqida bormoqda. Funktsiyani x nuqtalarning yaqinlashish oralig'i maydoni deb hisoblash mumkin. To'g'ri, usul hamma uchun mos emas. Gap shundaki, har qanday funksiya chiziqli tuzilishga aylanadigan darajalar qatorida va aksincha ifodalanishi mumkin.

Masalan, e_{x berilgan. Biz buni tenglama sifatida ifodalashimiz mumkin, bu haqiqatan ham cheksiz polinom. Quvvat seriyasini hisoblash orqali ko'rish oson, lekin u har doim ham samarali emas.}

Aniq integral yigʻindi chegarasi

Quyidagi grafik integratsiya va differentsiatsiyani koʻring.

Murakkab funktsiyani oson tushunish uchun uni yaxshilab tushunish kifoya. y=f (x) egri chizig'i, x o'qi va "x=a" va "x=b" koordinatalari orasidagi PRSQP maydonini taxmin qilaylik. Endi [a, b] oralig'ini quyidagi bilan belgilanadigan 'n' teng kichik oraliqlarga bo'lingshunday:

[x₀, x₁], [x₁, x ₂], [x₂, x₃]…. [x_{n - 1}, x_].

Bu yerda x₀=a, x₁=a + h, x₂=a + 2s, x₃=a + 3s….. x_r=a + rh va x =b=a + nh yoki n=(b - a) / h. (bitta).

Eslatma: n → ∞ h → 0.

Ko'rib chiqilayotgan PRSQP maydoni barcha "n" subdomenlarning yig'indisi bo'lib, ularning har biri ma'lum bir o'rtachalik darajasida aniqlanadi [x_r-1, x_{r], r=1, 2, 3…n. To‘g‘ri yondashuv bilan bu funksiyalarni tez hal qilish uchun farqlash va birlashtirish mumkin.}

Endi rasmdagi ABDMga qarang. Unga asoslanib, hududlar bo'yicha quyidagi kuzatishni amalga oshirish tavsiya etiladi: (ABLC) < (ABDCA) < (ABDM).

Shuningdek, h → 0 yoki x_r - x_{r-1 → 0 boʻlganda, har uchala maydon ham deyarli bir-biriga teng boʻlishini unutmang. do'st. Shuning uchun bizda:}

s =h [f(x₀) + f(x₁) + f (x₂) + …. f(x_{n – 1})]=h _r=0∑^n–1 f(x r_{) (2)}

yoki S =h [f(x₁) + f(x₂) + f(x₃) + …. f(x)]=h _r=1∑ f(x_{r) (3)}

Bunda s va S barcha pastki va yuqori toʻrtburchaklar [x oraliqlari ustida koʻtarilgan maydonlar yigʻindisini bildiradi. _r–1, x_{r] mos ravishda r=1, 2, 3, …, n uchun. Buni istiqbolga kiritish uchun (1) tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkinshakl:}

s < hudud (PRSQP) < S_{… (4)}

Bundan tashqari, (2) va (3) chegara qiymatlari ikkala holatda ham bir xil bo'lib, faqat egri chiziq ostidagi maydon umumiy hisoblanadi. Natijada bizda:

lim_{n → ∞} S =lim_{n → ∞} s=PRSQP hududlari=∫_a^{b f(x) dx … (5)}

Maydon shuningdek, egri chiziq ostidagi va egri chiziq ustidagi toʻrtburchaklar orasidagi boʻshliq chegarasidir. Qulaylik uchun siz har bir subintervalning chap chetidagi egri chiziqqa teng bo'lgan raqamning balandligiga e'tibor berishingiz kerak. Shunday qilib, tenglama oxirgi versiyaga qayta yoziladi:

∫_a^b f(x) dx=lim _{→ ∞h [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n - 1}h)]}

yoki ∫_a^b f(x) dx=(b – a) lim_{n → ∞(1/n) [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n - 1}h)]}

Xulosa

Differentsiya va integratsiya bir-biridan bir qator xossalari, formulalari va qarama-qarshi oʻzgarishlari bilan farqlanadi. Birining yordamisiz boshqasiga aylanib bo'lmaydi. Agar differentsiatsiya hosilani topishga yordam bersa, integratsiya butunlay boshqa harakatni amalga oshiradi. U baʼzi qismlarni qoʻshadi, ularni kamaytirish orqali darajalar boʻyicha yordam berishi yoki soddalashtirish orqali misolni yaxshilashi mumkin.

U differensial tenglamalarni sinash uchun ham ishlatiladi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, ular bir-birini to'ldiradiganligi sababli alohida-alohida yashay olmaydigan yagona mavjudot sifatida harakat qiladilar. Qoidalarni qo'llash, ko'plab texnikalarni bilish, endi sizga hal qilish kafolatlanadiqiyin vazifalar.