Matematikada tenglamalarni yechish alohida o’rin tutadi. Bu jarayondan oldin nazariyani o'rganish uchun ko'p soatlar o'tkaziladi, bu vaqt davomida talaba tenglamalarni echishni, ularning shaklini aniqlashni va ko'nikmalarni to'liq avtomatizmga etkazishni o'rganadi. Biroq, ildizlarni qidirish har doim ham mantiqiy emas, chunki ular mavjud bo'lmasligi mumkin. Ildizlarni topishning maxsus usullari mavjud. Ushbu maqolada biz asosiy funktsiyalarni, ularning qamrovini, shuningdek, ildizlari bo'lmagan holatlarni tahlil qilamiz.
Qaysi tenglamaning ildizi yo'q?
Agar tenglama bir xil toʻgʻri boʻlgan x haqiqiy argumentlar boʻlmasa, tenglamaning ildizlari boʻlmaydi. Mutaxassis bo'lmagan kishi uchun bu formula, ko'pgina matematik teoremalar va formulalar kabi, juda noaniq va mavhum ko'rinadi, ammo bu nazariy jihatdan. Amalda, hamma narsa juda oddiy bo'ladi. Masalan: 0x=-53 tenglamaning yechimi yo'q, chunki bunday x son yo'q, uning nol bilan ko'paytmasi noldan boshqa narsani beradi.
Endi biz eng asosiy tenglama turlarini koʻrib chiqamiz.
1. Chiziqli tenglama
Tenglama chiziqli deyiladi, agar uning oʻng va chap qismlari chiziqli funksiyalar sifatida ifodalansa: ax + b=cx + d yoki umumlashtirilgan kx + b=0. Bu erda a, b, c, d lar ma'lum. raqamlar, x esa noma'lum miqdordir. Qaysi tenglamaning ildizi yo'q? Chiziqli tenglamalarga misollar quyidagi rasmda ko'rsatilgan.
Asosan, chiziqli tenglamalar oddiygina son qismini bir qismga, x ning mazmunini esa ikkinchi qismga koʻchirish orqali yechiladi. Bu mx \u003d n shaklidagi tenglama chiqadi, bu erda m va n raqamlar, x esa noma'lum. X ni topish uchun ikkala qismni m ga bo'lish kifoya. Keyin x=n/m. Asosan, chiziqli tenglamalar faqat bitta ildizga ega, ammo cheksiz ko'p ildiz bo'lgan yoki umuman bo'lmagan holatlar mavjud. m=0 va n=0 bilan tenglama 0x=0 ko'rinishini oladi. Mutlaqo har qanday raqam bunday tenglamaning yechimi bo'ladi.
Ammo qaysi tenglamaning ildizi yo'q?
M=0 va n=0 bo'lganda, tenglama haqiqiy sonlar to'plamidan ildizga ega emas. 0x=-1; 0x=200 - bu tenglamalarda ildiz yo'q.
2. Kvadrat tenglama
Kvadrat tenglama ax2 + bx + c=0 koʻrinishidagi tenglama boʻlib, a=0 uchun. Kvadrat tenglamani yechishning eng keng tarqalgan usuli uni yechishdir. diskriminant orqali. Kvadrat tenglamaning diskriminantini topish formulasi: D=b2 - 4ac. Keyin ikkita ildiz bor x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
D > 0 bo'lsa, tenglama ikkita ildizga ega, D=0 bo'lganda - bitta ildiz. Lekin qaysi kvadrat tenglamaning ildizi yo'q?Kvadrat tenglamaning ildizlari sonini kuzatishning eng oson usuli bu funksiya grafigida, ya'ni parabola. > 0 da shoxlar yuqoriga, < 0 da shoxlar pastga tushiriladi. Diskriminant manfiy bo'lsa, bunday kvadrat tenglamaning haqiqiy sonlar to'plamida ildizlari yo'q.
Siz shuningdek, diskriminantni hisoblamasdan ham ildizlar sonini vizual tarzda aniqlashingiz mumkin. Buni amalga oshirish uchun siz parabolaning yuqori qismini topishingiz va filiallar qaysi tomonga yo'n altirilganligini aniqlashingiz kerak. Tepaning x koordinatasini quyidagi formula yordamida aniqlashingiz mumkin: x0 =-b / 2a. Bunday holda, cho'qqining y-koordinatasi oddiy tenglamaga x0 qiymatini almashtirish orqali topiladi.
Kvadrat tenglamaning x2 – 8x + 72=0 ildizi yo'q, chunki u manfiy diskriminantga ega D=(–8)2 - 4172=-224. Bu shuni anglatadiki, parabola x o'qiga tegmaydi va funksiya hech qachon 0 qiymatini olmaydi, shuning uchun tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q.
3. Trigonometrik tenglamalar
Trigonometrik funksiyalar trigonometrik doirada ko'rib chiqiladi, lekin dekart koordinatalar tizimida ham ifodalanishi mumkin. Ushbu maqolada biz ikkita asosiy trigonometrik funktsiyani va ularning tenglamalarini ko'rib chiqamiz: sinx va cosx. Bu funksiyalar radiusi 1, |sinx| bilan trigonometrik doira hosil qilganligi uchun va |cosx| 1 dan katta bo'lishi mumkin emas. Xo'sh, qaysi sinx tenglamaning ildizi yo'q? Rasmda keltirilgan sinx funksiyasining grafigini ko'rib chiqingquyida.
Funksiya nosimmetrik va takrorlanish davri 2pi ekanligini koʻramiz. Shunga asoslanib aytishimiz mumkinki, bu funksiyaning maksimal qiymati 1, minimali esa -1 bo'lishi mumkin. Masalan, cosx=5 ifodasi ildizga ega boʻlmaydi, chunki uning moduli birdan katta.
Bu trigonometrik tenglamalarning eng oddiy misolidir. Aslida, ularning yechimi ko'p sahifalarni olishi mumkin, buning oxirida siz noto'g'ri formuladan foydalanganingizni tushunasiz va barchasini qaytadan boshlashingiz kerak. Ba'zan, hatto ildizlarni to'g'ri topish bilan ham, siz ODZdagi cheklovlarni hisobga olishni unutishingiz mumkin, shuning uchun javobda qo'shimcha ildiz yoki interval paydo bo'ladi va butun javob xatoga aylanadi. Shuning uchun, barcha cheklovlarga qat'iy rioya qiling, chunki barcha ildizlar vazifa doirasiga to'g'ri kelmaydi.
4. Tenglamalar tizimlari
Tenglamalar tizimi jingalak yoki kvadrat qavslar bilan birlashtirilgan tenglamalar toʻplamidir. Jingalak qavslar barcha tenglamalarning birgalikda bajarilishini bildiradi. Ya'ni, agar tenglamalarning kamida bittasi ildizga ega bo'lmasa yoki boshqasiga zid bo'lsa, butun tizimning echimi yo'q. Kvadrat qavslar "yoki" so'zini bildiradi. Bu shuni anglatadiki, agar tizim tenglamalaridan kamida bittasi yechimga ega bo'lsa, unda butun tizim yechimga ega.
Kvadrat qavsli tizimning javobi individual tenglamalarning barcha ildizlarining yig'indisidir. Va jingalak qavsli tizimlar faqat umumiy ildizlarga ega. Tenglamalar tizimlari mutlaqo turli funktsiyalarni o'z ichiga olishi mumkin, shuning uchun bu murakkablik emasqaysi tenglamaning ildizi yo‘qligini darhol aniqlash imkonini beradi.
Umumlashtirish va tenglamaning ildizlarini topish boʻyicha maslahatlar
Muammolar kitoblarida va darsliklarda tenglamalarning har xil turlari mavjud: ildizlari bor va ularsiz. Avvalo, agar siz ildizlarni topa olmasangiz, ular umuman yo'q deb o'ylamang. Qaerdadir xatoga yo‘l qo‘ygan bo‘lishingiz mumkin, keyin yechimingizni ikki marta tekshiring.
Biz eng asosiy tenglamalar va ularning turlarini koʻrib chiqdik. Endi siz qaysi tenglamaning ildizi yo'qligini ayta olasiz. Aksariyat hollarda buni qilish unchalik qiyin emas. Tenglamalarni echishda muvaffaqiyatga erishish uchun faqat diqqat va konsentratsiya talab qilinadi. Koʻproq mashq qiling, bu sizga materialni yaxshiroq va tezroq oʻrganishga yordam beradi.
Demak, tenglamaning ildizi yo'q, agar:
- chiziqli tenglamada mx=n qiymati m=0 va n=0;
- kvadrat tenglamada diskriminant noldan kichik bo'lsa;
- cosx=m / sinx=n ko'rinishdagi trigonometrik tenglamada, agar |m| > 0, |n| > 0;
- tenglamalar tizimida kamida bitta tenglamaning ildizi boʻlmasa, jingalak qavsli, agar barcha tenglamalarning ildizi boʻlmasa, kvadrat qavs ichida.
