Georg Kantor (foto maqolada keyinroq berilgan) nemis matematigi boʻlib, toʻplamlar nazariyasini yaratgan va cheksiz katta, lekin bir-biridan farq qiluvchi transfinit sonlar tushunchasini kiritgan. Shuningdek, u tartib va kardinal sonlarni aniqlab, ularning arifmetikasini yaratdi.
Georg Kantor: qisqacha biografiya
Sankt-Peterburgda 03.03.1845 yilda tug'ilgan. Uning otasi protestant diniga mansub daniyalik Georg-Valdemar Kantor edi, u savdo, shu jumladan birjada shug'ullangan. Uning onasi Mariya Bem katolik bo'lib, taniqli musiqachilar oilasidan chiqqan. 1856 yilda Georgning otasi kasal bo'lib qolganda, oila yumshoqroq iqlim izlash uchun avval Visbadenga, keyin esa Frankfurtga ko'chib o'tdi. Bolaning matematik qobiliyatlari Darmshtadt va Visbadendagi xususiy maktablar va gimnaziyalarda o‘qiyotganda 15 yoshga to‘lmasdan ham namoyon bo‘ldi. Oxir-oqibat, Georg Kantor otasini muhandis emas, matematik bo'lish niyatida ekanligiga ishontirdi.
Tsyurix universitetida qisqacha o'qishdan so'ng, 1863 yilda Kantor fizika, falsafa va matematika bo'yicha o'qish uchun Berlin universitetiga o'tdi. Mana uo'rgatgan:
- Karl Teodor Veyershtras, uning tahlil boʻyicha ixtisosligi Georgga katta taʼsir koʻrsatgan;
- Ernst Eduard Kummer, oliy arifmetikadan dars bergan;
- Leopold Kronecker, keyinchalik Kantorga qarshi chiqqan raqamlar nazariyotchisi.
1866-yilda Gettingen universitetida bir semestrda oʻqiganidan soʻng, keyingi yili Georg Karl Fridrix Gauss qoʻygan muammo yuzasidan “Matematikada savol berish sanʼati masalalar yechishdan qimmatroq” nomli doktorlik dissertatsiyasini yozdi. Disquisitiones Arithmeticae (1801) asarida hal qilinmay qolgan. Berlin Qizlar maktabida qisqa muddat dars berganidan so‘ng Kantor Galle universitetida ishlay boshladi va u yerda umrining oxirigacha avval o‘qituvchi, 1872 yildan dotsent va 1879 yildan professor lavozimlarida ishladi.
Tadqiqot
1869 yildan 1873 yilgacha bo'lgan 10 ta maqolaning boshida Georg Kantor sonlar nazariyasini ko'rib chiqdi. Asarda uning mavzuga bo'lgan ishtiyoqi, Gauss haqidagi tadqiqotlari va Kroneckerning ta'siri aks etgan. Kantorning Galledagi hamkasbi, uning matematik iqtidorini tan olgan Geynrix Eduard Geynning taklifi bilan u trigonometrik qatorlar nazariyasiga murojaat qildi va bunda haqiqiy sonlar tushunchasini kengaytirdi.
1854-yilda nemis matematigi Bernhard Rimanning kompleks oʻzgaruvchining funksiyasi haqidagi ishiga asoslanib, 1870-yilda Kantor bunday funktsiyani faqat bitta usulda - trigonometrik qatorlar orqali ifodalash mumkinligini koʻrsatdi. Raqamlar (nuqtalar) to'plamini hisobga olishbunday fikrga zid boʻlmasdi, uni, birinchidan, 1872 yilda irratsional sonlarni ratsional sonlarning konvergent ketma-ketliklari (butun sonlar kasrlari) nuqtai nazaridan aniqlashga va keyinchalik oʻzining hayotiy faoliyati, toʻplam nazariyasi va kontseptsiyasi ustida ishlashning boshlanishiga olib keldi. transfinit sonlar.
Toʻplam nazariyasi
Toʻplamlar nazariyasi Braunshveyg texnika instituti matematigi Richard Dedekind bilan yozishmalarda paydo boʻlgan Georg Kantor bolaligidan uning doʻsti edi. Ular to‘plamlar, xoh chekli, xoh cheksiz bo‘lsin, individualligini saqlab qolgan holda ma’lum xususiyatga ega bo‘lgan elementlar yig‘indisi (masalan, raqamlar, {0, ±1, ±2..}) degan xulosaga kelishdi. Ammo Georg Kantor ularning xususiyatlarini o‘rganish uchun yakkama-yakka yozishmalardan (masalan, {A, B, C} dan {1, 2, 3}gacha) foydalanganda, ular a’zolik darajasida farq qilishini tezda anglab yetdi. agar ular cheksiz to'plamlar bo'lsa., ya'ni bir qismi yoki kichik to'plami o'zi kabi ko'plab ob'ektlarni o'z ichiga olgan to'plamlar. Uning usuli tez orada ajoyib natijalar berdi.
1873-yilda Georg Kantor (matematik) ratsional sonlar cheksiz boʻlsa ham sanab boʻlishini koʻrsatdi, chunki ularni natural sonlar (yaʼni 1, 2, 3 va boshqalar) bilan birma-bir moslashtirish mumkin. d.). U irratsional va ratsional sonlardan tashkil topgan haqiqiy sonlar to‘plami cheksiz va sonsiz ekanligini ko‘rsatdi. Yana paradoksal bo'lib, Kantor barcha algebraik sonlar to'plamida shuncha elementlar borligini isbotladibarcha butun sonlar toʻplami nechta va irratsional sonlar toʻplami boʻlgan algebraik boʻlmagan transsendental sonlarni sanab boʻlmaydi va shuning uchun ularning soni butun sonlardan kattaroqdir va ularni cheksiz deb hisoblash kerak.
Raqiblar va tarafdorlar
Ammo Kantorning ushbu natijalarni birinchi marta ilgari surgan maqolasi Krellda nashr etilmadi, chunki sharhlovchilardan biri Kronecker keskin qarshi edi. Ammo Dedekindning aralashuvidan so'ng u 1874 yilda "Barcha haqiqiy algebraik sonlarning xarakteristik xususiyatlari haqida"
nomi bilan nashr etildi.
Fan va shaxsiy hayot
Oʻsha yili Shveytsariyaning Interlaken shahrida rafiqasi Uolli Gutman bilan asal oyida boʻlganida Kantor Dedekind bilan uchrashdi, u oʻzining yangi nazariyasi haqida ijobiy gapirdi. Jorjning maoshi oz edi, lekin 1863 yilda vafot etgan otasining puliga xotini va besh farzandi uchun uy qurdirdi. Uning ko'pgina maqolalari Shvetsiyada nemis matematikining iste'dodini birinchilardan bo'lib tan olgan Gesta Mittag-Leffler tomonidan tahrirlangan va asos solingan Acta Mathematica jurnalida nashr etilgan.
Metafizika bilan aloqa
Kantor nazariyasi cheksizlar (masalan, 1, 2, 3 va boshqalar seriyalar va murakkabroq to'plamlar) matematikasiga oid mutlaqo yangi o'rganish predmetiga aylandi, bu ko'p jihatdan birma-bir yozishmalarga bog'liq edi. Kantorning yangi sahnalashtirish usullarini ishlab chiqishiDavomiylik va cheksizlikka oid savollar uning tadqiqotiga noaniq xarakter berdi.
U cheksiz sonlar haqiqatan ham borligini ta'kidlaganida, u haqiqiy va potentsial cheksizlik haqidagi antik va o'rta asr falsafasiga, shuningdek, ota-onasi unga bergan ilk diniy ta'limga murojaat qildi. 1883 yilda Kantor o'zining "Umumiy to'plamlar nazariyasi asoslari" kitobida o'z tushunchasini Platon metafizikasi bilan birlashtirdi.
Faqat butun sonlar "mavjud" deb da'vo qilgan Kroneker ("Xudo butun sonlarni yaratgan, qolgani insonning ishi") ko'p yillar davomida uning mulohazalarini qat'iyan rad etib, Berlin universitetiga tayinlanishiga to'sqinlik qilgan.
Transfinite raqamlar
1895-97 yillarda. Georg Kantor uzluksizlik va cheksizlik, shu jumladan cheksiz tartib va kardinal sonlar haqidagi tushunchasini oʻzining eng mashhur asarida “Transfinite sonlar nazariyasining oʻrnatilishiga hissa” (1915) asarida toʻliq shakllantirgan. Ushbu insho uning kontseptsiyasini o'z ichiga oladi, u cheksiz to'plamni uning kichik to'plamlaridan biri bilan birma-bir yozishmalarda qo'yish mumkinligini ko'rsatish orqali olib borgan.
Eng kichik transfinit kardinal son ostida u natural sonlar bilan yakkama-yakka mos kelishi mumkin boʻlgan har qanday toʻplamning kardinalligini nazarda tutgan. Kantor buni aleph-null deb atadi. Katta transfinit to'plamlar aleph-bir, aleph-ikki va boshqalar bilan belgilanadi. U chekli arifmetikaga o'xshash transfinit sonlar arifmetikasini yanada rivojlantirdi. shunday, ucheksizlik tushunchasini boyitdi.
U duch kelgan qarama-qarshilik va gʻoyalarini toʻliq qabul qilish uchun zarur boʻlgan vaqt raqam nima degan qadimiy savolni qayta koʻrib chiqish qiyinligi bilan bogʻliq. Kantor chiziqdagi nuqtalar to'plami alef-noldan yuqori kardinallikka ega ekanligini ko'rsatdi. Bu kontinuum gipotezasining mashhur muammosiga olib keldi - alef-nol va chiziqdagi nuqtalarning kuchi o'rtasida asosiy raqamlar yo'q. 20-asrning birinchi va ikkinchi yarmida bu muammo katta qiziqish uyg'otdi va ko'plab matematiklar, jumladan Kurt Gödel va Pol Koen tomonidan o'rganildi.
Depressiya
Georg Kantorning 1884 yildan beri tarjimai holi uning ruhiy kasalligi soyasida qoldi, ammo u faol ishlashda davom etdi. 1897 yilda u Tsyurixda birinchi xalqaro matematik kongressni o'tkazishga yordam berdi. Qisman unga Kronecker qarshilik ko'rsatgani uchun u tez-tez yosh matematiklarga hamdard bo'lib, ularni yangi g'oyalar tahdidi ostida qolgan o'qituvchilarning ta'qiblaridan qutqarish yo'lini izlardi.
tan olish
Asr oxirida uning ishi funksiyalar nazariyasi, tahlili va topologiyasi uchun asos sifatida toʻliq eʼtirof etildi. Bundan tashqari, Kantor Georgning kitoblari matematikaning mantiqiy asoslarining intuitiv va formalistik maktablarini yanada rivojlantirish uchun turtki bo'ldi. Bu o'qitish tizimini sezilarli darajada o'zgartirdi va ko'pincha "yangi matematika" bilan bog'liq.
1911 yilda Kantor taklif qilinganlar orasida ediShotlandiyadagi Sent-Endryus universitetining 500 yilligini nishonlash. U yaqinda nashr etilgan Principia Mathematica asarida nemis matematikiga qayta-qayta murojaat qilgan Bertran Rassell bilan uchrashish umidida u erga bordi, ammo bu sodir bo'lmadi. Universitet Kantorga faxriy unvon berdi, ammo kasallik tufayli u mukofotni shaxsan qabul qila olmadi.
Kantor 1913 yilda nafaqaga chiqdi, qashshoqlikda yashadi va Birinchi jahon urushi paytida och qoldi. 1915 yilda uning 70 yilligi sharafiga nishonlash urush tufayli bekor qilindi, ammo uning uyida kichik marosim bo'lib o'tdi. U 1918-yil 01-06-da umrining so‘nggi yillarini o‘tkazgan Halle shahridagi psixiatriya shifoxonasida vafot etdi.
Georg Kantor: tarjimai hol. Oila
1874-yil 9-avgustda nemis matematigi Uolli Gutmanga turmushga chiqdi. Er-xotinning 4 o'g'li va 2 qizi bor edi. Oxirgi bola 1886 yilda Kantor tomonidan sotib olingan yangi uyda tug'ilgan. Otasining merosi unga oilasini boqishga yordam berdi. Kantorning sog'lig'iga 1899 yilda kenja o'g'lining o'limi katta ta'sir ko'rsatdi va o'shandan beri depressiya uni tark etmadi.
