Matematikada koʻpincha bir qancha qiyinchiliklar va savollar boʻladi va koʻpgina javoblar har doim ham aniq boʻlavermaydi. To'plamlarning kardinalligi kabi mavzu bundan mustasno emas edi. Aslida, bu ob'ektlar sonining raqamli ifodasidan boshqa narsa emas. Umumiy ma'noda to'plam aksioma bo'lib, uning ta'rifi yo'q. U bo'sh, chekli yoki cheksiz bo'lishi mumkin bo'lgan har qanday ob'ektlarga, aniqrog'i ularning to'plamiga asoslanadi. Bundan tashqari, u butun sonlar yoki natural sonlar, matritsalar, ketma-ketliklar, segmentlar va chiziqlarni o'z ichiga oladi.
Mavjud oʻzgaruvchilar haqida
Ichki qiymatga ega boʻlmagan nol yoki boʻsh toʻplam asosiy element hisoblanadi, chunki u quyi toʻplamdir. Bo'sh bo'lmagan S to'plamning barcha kichik to'plamlari to'plami to'plamlar to'plamidir. Shunday qilib, berilgan to'plamning quvvat to'plami ko'p, aqlga sig'adigan, ammo yagona deb hisoblanadi. Bu to'plam S ning kuchlar to'plami deb ataladi va P (S) bilan belgilanadi. Agar S N ta elementni o'z ichiga olsa, u holda P(S) 2^n ta kichik to'plamni o'z ichiga oladi, chunki P(S) ning kichik to'plami ∅ yoki S dan r elementni o'z ichiga olgan kichik to'plamdir, r=1, 2, 3, … Cheksiz hamma narsadan tashkil topgan. M to'plami quvvat miqdori deb ataladi va ramziy ravishda P (M) bilan belgilanadi.
Toʻplam nazariyasi elementlari
Bu bilim sohasi Jorj Kantor (1845-1918) tomonidan ishlab chiqilgan. Bugungi kunda u matematikaning deyarli barcha sohalarida qo'llaniladi va uning asosiy qismi bo'lib xizmat qiladi. To‘plamlar nazariyasida elementlar ro‘yxat ko‘rinishida ifodalanadi va ular turlari (bo‘sh to‘plam, birlik, chekli va cheksiz to‘plamlar, teng va ekvivalent, universal), birlashma, kesishish, ayirma va sonlarning qo‘shilishi bo‘yicha beriladi. Kundalik hayotda biz ko'pincha kalitlar to'plami, qushlar suruvi, kartalar to'plami va boshqalar kabi narsalar to'plami haqida gapiramiz. Matematikadan 5-sinf va undan keyingi sinflarda tabiiy, butun, tub va kompozit raqamlar mavjud.
Quyidagi toʻplamlar koʻrib chiqilishi mumkin:
- natural sonlar;
- alifbo harflari;
- asosiy koeffitsientlar;
- tomonlari har xil boʻlgan uchburchaklar.
Koʻrinib turibdiki, bu koʻrsatilgan misollar aniq belgilangan obyektlar toʻplamidir. Yana bir nechta misollarni ko'rib chiqing:
- dunyodagi eng mashhur beshta olim;
- jamiyatdagi yetti go'zal qiz;
- uchta eng yaxshi jarroh.
Bu asosiy misollar ob'ektlarning aniq belgilangan to'plami emas, chunki "eng mashhur", "eng chiroyli", "eng yaxshi" mezonlari odamdan odamga farq qiladi.
Toʻplamlar
Bu qiymat turli obyektlarning aniq belgilangan soni. Faraz qilsak:
- soʻzlar toʻplami sinonim, agregat, sinf boʻlib, elementlarni oʻz ichiga oladi;
- ob'ektlar, a'zolar teng shartlar;
- toʻplamlar odatda A, B, C katta harflar bilan belgilanadi;
- toʻplam elementlari a, b, c kichik harflar bilan ifodalanadi.
Agar “a” A to’plamning elementi bo’lsa, unda “a” A ga tegishli deyiladi. “Tahsil” iborasini yunoncha “∈” (epsilon) belgisi bilan belgilaymiz. Shunday qilib, a ∈ A ekanligi ma'lum bo'ldi. Agar 'b' A ga tegishli bo'lmagan element bo'lsa, u b ∉ A shaklida ifodalanadi. 5-sinf matematikasida qo'llaniladigan ba'zi muhim to'plamlar quyidagi uchta usul yordamida ifodalanadi:
- ilovalar;
- registrlar yoki jadval;
- forma yaratish qoidasi.
Yaqinroq tekshirilganda ariza shakli quyidagilarga asoslanadi. Bunda to'plam elementlarining aniq tavsifi beriladi. Ularning barchasi jingalak qavslarga o'ralgan. Masalan:
- 7 dan kichik toq sonlar toʻplami - {7 dan kam} sifatida yoziladi;
- 30 dan katta va 55 dan kichik raqamlar toʻplami;
- sinfdagi ogʻirligi oʻqituvchinikidan kattaroq oʻquvchilar soni.
Roʻyxatga olish kitobi (jadval) shaklida toʻplam elementlari {} qavs ichida keltirilgan va vergul bilan ajratilgan. Masalan:
- N birinchi beshta natural sonlar toʻplamini belgilasin. Shuning uchun, N=→ ro'yxatdan o'tish shakli
- Ingliz alifbosining barcha unlilari toʻplami. Demak, V={a, e, i, o, u, y} → ro'yxatga olish shakli
- Barcha toq sonlar toʻplami 9 dan kichik. Shuning uchun X={1, 3, 5, 7} → shaklro'yxatga olish kitobi
- “Matematik” soʻzidagi barcha harflar toʻplami. Shuning uchun Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Ro‘yxatga olish shakli
- W - yilning oxirgi to'rt oyi to'plami. Shuning uchun, W={sentyabr, oktyabr, noyabr, dekabr} → registr.
E'tibor bering, elementlarning ro'yxatdagi tartibi muhim emas, lekin ular takrorlanmasligi kerak. Qurilishning belgilangan shakli, ma'lum bir holatda qoida, formula yoki operator to'plam to'g'ri aniqlanishi uchun qavs ichida yoziladi. Ko‘rilayotgan qiymatga a’zo bo‘lish uchun to‘plam quruvchi shaklida barcha elementlar bir xil xususiyatga ega bo‘lishi kerak.
Toʻplamning ushbu koʻrinishida toʻplam elementi “x” belgisi yoki boshqa har qanday oʻzgaruvchidan soʻng ikki nuqta bilan tavsiflanadi (“:” yoki “|” koʻrsatish uchun ishlatiladi). Masalan, P 12 dan katta hisoblanuvchi sonlar to'plami bo'lsin. P to'plam yasovchi ko'rinishida - {hisoblanuvchi son va 12 dan katta bo'lgan holda yoziladi. U ma'lum bir tarzda o'qiydi. Ya'ni, "P x elementlar to'plami bo'lib, x hisoblanishi mumkin va 12 dan katta."
Toʻplamni tasvirlashning uchta usuli yordamida echilgan misol: -2 va 3 orasidagi butun sonlar soni. Quyida turli turdagi toʻplamlarga misollar keltirilgan:
- Hech qanday elementni o'z ichiga olmaydi va ∅ belgisi bilan belgilanadi va phi sifatida o'qiladigan bo'sh yoki null to'plam. Ro'yxat shaklida ∅ {} deb yoziladi. Cheklangan toʻplam boʻsh, chunki elementlar soni 0 ga teng. Masalan, butun sonlar toʻplami 0 dan kichik.
- Shubhasiz <0 boʻlmasligi kerak. Shuning uchun buboʻsh toʻplam.
- Faqat bitta oʻzgaruvchini oʻz ichiga olgan toʻplam yakka toʻplam deyiladi. Oddiy ham, murakkab ham emas.
Cheklangan toʻplam
Ma'lum miqdordagi elementlarni o'z ichiga olgan to'plam chekli yoki cheksiz to'plam deb ataladi. Bo'sh birinchisiga ishora qiladi. Masalan, kamalakdagi barcha ranglar toʻplami.
Cheksizlik - bu toʻplam. Undagi elementlarni sanab bo'lmaydi. Ya'ni, o'xshash o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan cheksiz to'plam deyiladi. Misollar:
- tekislikdagi barcha nuqtalar to'plamining kuchi;
- barcha tub sonlar toʻplami.
Ammo shuni tushunishingiz kerakki, toʻplam birlashuvining barcha kardinalliklarini roʻyxat shaklida ifodalab boʻlmaydi. Masalan, haqiqiy sonlar, chunki ularning elementlari biron bir naqshga mos kelmaydi.
Toʻplamning asosiy raqami - berilgan A miqdoridagi turli elementlarning soni. U n (A) bilan belgilanadi.
Masalan:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Shuning uchun n (A)=4.
- B=ALGEBRA soʻzidagi harflar toʻplami.
Toʻplamni taqqoslash uchun ekvivalent toʻplamlar
A va B to'plamning ikkita kardinalligi, agar ularning asosiy soni bir xil bo'lsa, shunday bo'ladi. Ekvivalent to'plamning belgisi "↔" dir. Masalan: A ↔ B.
Teng toʻplamlar: agar ular bir xil elementlardan iborat boʻlsa, A va B toʻplamlarining ikkita kardinalligi. A dan har bir koeffitsient B dan o'zgaruvchidir va B ning har biri A ning belgilangan qiymatidir. Shuning uchun, A=B. Kardinallik birlashmalarining har xil turlari va ularning ta'riflari keltirilgan misollar yordamida tushuntirilgan.
Cheklik va cheksizlikning mohiyati
Chekli toʻplam va cheksiz toʻplamning asosiyligi oʻrtasida qanday farq bor?
Birinchi qiymat, agar u boʻsh boʻlsa yoki chekli sonli elementlarga ega boʻlsa, quyidagi nomga ega boʻladi. Cheklangan to'plamda o'zgaruvchining soni cheklangan bo'lsa, ko'rsatilishi mumkin. Misol uchun, natural son yordamida 1, 2, 3. Va listing jarayoni bir necha N bilan tugaydi. S chekli to'plamda hisoblangan turli elementlarning soni n (S) bilan belgilanadi. U tartib yoki kardinal deb ham ataladi. Standart printsipga muvofiq ramziy ravishda belgilanadi. Shunday qilib, agar S to'plami rus alifbosi bo'lsa, unda 33 ta element mavjud. Shuni ham yodda tutish kerakki, element to‘plamda bir martadan ortiq bo‘lmaydi.
Toʻplamda cheksiz
Elementlarni sanab bo'lmasa, to'plam cheksiz deb ataladi. Agar u har qanday n uchun 1, 2, 3, 4 chegaralanmagan (ya'ni sonsiz) natural songa ega bo'lsa. Chekli bo'lmagan to'plam cheksiz deyiladi. Endi biz ko'rib chiqilayotgan raqamli qiymatlarning misollarini muhokama qilishimiz mumkin. Yakuniy qiymat variantlari:
- Q={25 dan kichik natural sonlar} boʻlsin. U holda Q chekli to'plam va n (P)=24.
- R={5 va 45 orasidagi butun sonlar} boʻlsin. U holda R chekli to'plam va n (R)=38.
- S={modul raqamlari 9} boʻlsin. Keyin S={-9, 9} chekli toʻplam va n (S)=2.
- Barcha odamlar toʻplami.
- Barcha qushlar soni.
Cheksiz misollar:
- samolyotdagi mavjud nuqtalar soni;
- chiziq segmentidagi barcha nuqtalar soni;
- 3 ga boʻlinadigan musbat sonlar toʻplami cheksiz;
- barcha butun va natural sonlar.
Demak, yuqoridagi mulohazalardan chekli va cheksiz toʻplamlarni qanday ajratish mumkinligi aniq boʻldi.
Continuum to'plamining kuchi
Toʻplam va boshqa mavjud qiymatlarni solishtiradigan boʻlsak, unda toʻplamga qoʻshimcha ilova qilinadi. Agar p universal, A esa p ning kichik to‘plami bo‘lsa, u holda A to‘ldiruvchisi p ning A elementi bo‘lmagan barcha elementlari soniga teng bo‘ladi. Simvolik ma’noda A ning p ga nisbatan to‘ldiruvchisi A’ dir. Masalan, 2, 4, 5, 6 ning A ga tegishli bo‘lmagan yagona elementlari hisoblanadi. Shuning uchun A'={2, 4, 5, 6}
Kordinallik davomli toʻplam quyidagi xususiyatlarga ega:
- universal miqdorning toʻldiruvchisi koʻrib chiqilayotgan boʻsh qiymat;
- bu null toʻplam oʻzgaruvchisi universaldir;
- summa va uning toʻldiruvchisi bir-biridan ajratilgan.
Masalan:
- Natural sonlar soni universal toʻplam, A esa juft boʻlsin. U holda A '{x: x bir xil raqamlarga ega toq to'plam}.
- Let l=alifbodagi harflar toʻplami. A=undosh tovushlar to'plami. Keyin A '=unlilar soni.
- Universal toʻplamning toʻldiruvchisi boʻsh miqdordir. p bilan belgilanishi mumkin. Keyin p '=p ga kiritilmagan elementlar to'plami. Bo'sh to'plam ph yoziladi va belgilanadi. Shuning uchun p=ph. Shunday qilib, universal toʻplamning toʻldiruvchisi boʻsh.
Matematikada "uzluksizlik" ba'zan haqiqiy chiziqni ifodalash uchun ishlatiladi. Va umuman olganda, o'xshash ob'ektlarni tavsiflash uchun:
- continuum (toʻplam nazariyasida) - haqiqiy chiziq yoki mos keladigan asosiy raqam;
- chiziqli - haqiqiy chiziqning ma'lum xususiyatlariga ega bo'lgan har qanday tartiblangan to'plam;
- continuum (topologiyada) - bo'sh bo'lmagan ixcham bog'langan metrik fazo (ba'zan Hausdorff);
- cheksiz toʻplamlar butun sonlardan katta, lekin haqiqiy sonlardan kichik emas degan gipoteza;
- kontinuumning kuchi haqiqiy sonlar toʻplamining oʻlchamini ifodalovchi asosiy raqamdir.
Aslida, bir holatdan ikkinchi holatga keskin oʻzgarishsiz bosqichma-bosqich oʻtishni tushuntiruvchi kontinuum (oʻlchov), nazariyalar yoki modellar.
Birlashish va kesishish muammolari
Ma'lumki, ikki yoki undan ortiq to'plamlarning kesishishi bu qiymatlarda umumiy bo'lgan barcha elementlarni o'z ichiga olgan sondir. To'plamlarning birlashma va kesishish xususiyatlaridan qanday foydalanish haqida asosiy g'oyalarni olish uchun to'plamlardagi so'z vazifalari hal qilinadi. So'zlarning asosiy muammolarini hal qildito'plamlar quyidagicha ko'rinadi:
A va B ikkita chekli toʻplam boʻlsin. Ular n (A)=20, n (B)=28 va n (A ∪ B)=36, n (A ∩ B) ni toping
Venn diagrammasi yordamida toʻplamlardagi munosabatlar:
- Ikki toʻplamning birlashuvi A ∪ B ni ifodalovchi soyali maydon bilan ifodalanishi mumkin. A va B ajratilgan toʻplamlar boʻlganda A ∪ B.
- Ikki toʻplamning kesishishini Venn diagrammasi bilan tasvirlash mumkin. A ∩ B ni ifodalovchi soyali maydon bilan.
- Ikki toʻplam orasidagi farqni Venn diagrammasi bilan ifodalash mumkin. A - B ni ifodalovchi soyali maydon bilan.
- Venn diagrammasi yordamida uchta toʻplam oʻrtasidagi munosabat. Agar p universal miqdorni ifodalasa, A, B, C uchta kichik to'plamdir. Bu yerda uchta to‘plam bir-biriga o‘xshash.
Toʻplam maʼlumotlarini jamlash
Toʻplamning kardinalligi toʻplamdagi alohida elementlarning umumiy soni sifatida aniqlanadi. Va oxirgi belgilangan qiymat barcha kichik to'plamlar soni sifatida tavsiflanadi. Bunday masalalarni o'rganishda usullar, usullar va echimlar talab qilinadi. Shunday qilib, to'plamning kardinalligi uchun quyidagi misollar xizmat qilishi mumkin:
A={0, 1, 2, 3}| boʻlsin |=4, bu erda | A | A toʻplamining kardinalligini ifodalaydi.
Endi siz quvvat toʻplamini topishingiz mumkin. Bu ham juda oddiy. Yuqorida aytib o'tilganidek, quvvat to'plami berilgan raqamning barcha kichik to'plamlaridan o'rnatiladi. Shunday qilib, asosan A ning barcha o'zgaruvchilari, elementlari va boshqa qiymatlarini aniqlash kerak,bular {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Endi quvvat hisobi P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 16 ta elementdan iborat 0, 1, 2, 3}}. Shunday qilib, to'plamning kardinalligi A=16. Shubhasiz, bu muammoni hal qilishning zerikarli va mashaqqatli usuli. Biroq, to'g'ridan-to'g'ri berilgan raqamning quvvat to'plamidagi elementlarning sonini bilishingiz mumkin bo'lgan oddiy formula mavjud. | P |=2 ^ N, bu erda N - ba'zi A dagi elementlar soni. Bu formulani oddiy kombinatorika yordamida olish mumkin. Demak, savol 2^11, chunki A to'plamidagi elementlar soni 11.
Demak, toʻplam har qanday mumkin boʻlgan obyekt boʻlishi mumkin boʻlgan har qanday raqamli ifodalangan miqdordir. Masalan, mashinalar, odamlar, raqamlar. Matematik ma'noda bu tushuncha kengroq va umumlashtirilgan. Agar dastlabki bosqichlarda raqamlar va ularni hal qilish variantlari saralangan bo'lsa, o'rta va yuqori bosqichlarda shartlar va vazifalar murakkablashadi. Darhaqiqat, to'plamning birlashuvining kardinalligi ob'ektning har qanday guruhga tegishliligi bilan belgilanadi. Ya'ni, bitta element sinfga tegishli, lekin bir yoki bir nechta o'zgaruvchiga ega.
