Hatto maktabda ham barcha oʻquvchilar “Yevklid geometriyasi” tushunchasi bilan tanishadilar, uning asosiy qoidalari nuqta, tekislik, chiziq, harakat kabi geometrik elementlarga asoslangan bir nechta aksiomalar atrofida yoʻn altirilgan. Ularning barchasi birgalikda "Yevklid fazosi" atamasi ostida uzoq vaqtdan beri ma'lum bo'lgan narsani tashkil qiladi.
Tarifi vektorlarni skalyar koʻpaytirish kontseptsiyasiga asoslangan Evklid fazosi qator talablarni qondiradigan chiziqli (affin) fazoning maxsus holatidir. Birinchidan, vektorlarning skalyar ko‘paytmasi mutlaqo simmetrik, ya’ni koordinatalari (x;y) bo‘lgan vektor miqdoriy jihatdan (y;x) koordinatali vektor bilan bir xil, lekin yo‘nalishi bo‘yicha qarama-qarshidir.
Ikkinchidan, agar vektorning oʻzi bilan skalyar koʻpaytmasi bajarilsa, bu harakatning natijasi ijobiy boʻladi. Faqatgina istisno bu vektorning dastlabki va yakuniy koordinatalari nolga teng bo'lgan hol bo'ladi: bu holda uning o'zi bilan ko'paytmasi ham nolga teng bo'ladi.
Uchinchidan, skalyar ko’paytma distributivdir, ya’ni uning koordinatalaridan birini ikkita qiymat yig’indisiga ajratish mumkin, bu vektorlarni skaler ko’paytirishning yakuniy natijasida hech qanday o’zgarishlarga olib kelmaydi. Nihoyat, to‘rtinchidan, vektorlar bir xil haqiqiy songa ko‘paytirilsa, ularning skalyar ko‘paytmasi ham bir xil ko‘rsatkichga ortadi.
Agar bu toʻrtta shart bajarilsa, bizda Evklid fazosi borligini ishonch bilan aytishimiz mumkin.
Evklid fazosini amaliy nuqtai nazardan quyidagi aniq misollar bilan tavsiflash mumkin:
- Eng oddiy holat - bu geometriyaning asosiy qonunlari boʻyicha aniqlangan skalyar koʻpaytmali vektorlar toʻplamining mavjudligi.
- Evklid fazosi, agar vektorlar deganda ularning skalyar yigʻindisi yoki mahsulotini tavsiflovchi berilgan formulaga ega boʻlgan maʼlum chekli haqiqiy sonlar toʻplami nazarda tutilgan boʻlsa ham olinadi.
- Evklid fazosining alohida holi nol fazo deb ataladi, agar ikkala vektorning skalyar uzunligi nolga teng bo'lsa olinadi.
Yevklid fazosi bir qator o'ziga xos xususiyatlarga ega. Birinchidan, skalyar koeffitsient qavs ichidan skalyar ko'paytmaning birinchi va ikkinchi koeffitsientidan olinishi mumkin, bundan natija hech qanday tarzda o'zgarmaydi. Ikkinchidan, skalerning birinchi elementining taqsimlanishi bilan birgamahsulot, ikkinchi elementning taqsimlanishi ham harakat qiladi. Bundan tashqari, vektorlarning skalyar yig'indisidan tashqari, vektor ayirish holatida distributivlik ham sodir bo'ladi. Nihoyat, uchinchidan, vektor skalyar ravishda nolga ko'paytirilsa, natija ham nolga teng bo'ladi.
Shunday qilib, Evklid fazosi vektorlarning bir-biriga nisbatan oʻzaro joylashishiga oid masalalarni yechishda qoʻllaniladigan eng muhim geometrik tushuncha boʻlib, u skalyar koʻpaytma kabi tushuncha bilan tavsiflanadi.
