Hisob - bu hosila, differentsial va ulardan funktsiyani o'rganishda foydalanishni o'rganuvchi hisobning bir bo'limi.
Koʻrinish tarixi
Differensial hisoblash mustaqil fan sifatida 17-asrning ikkinchi yarmida Nyuton va Leybnits ishi tufayli paydo boʻldi, ular differentsiallar hisobining asosiy qoidalarini shakllantirdilar hamda integrasiya va differentsiallanish oʻrtasidagi bogʻliqlikni payqadilar. O'sha paytdan boshlab intizom integrallarni hisoblash bilan birga rivojlanib, matematik tahlilning asosini tashkil etdi. Ushbu hisoblarning paydo bo'lishi matematik olamida yangi zamonaviy davrni ochdi va fanda yangi fanlarning paydo bo'lishiga sabab bo'ldi. Shuningdek, u matematika fanini tabiiy fan va texnologiyada qoʻllash imkoniyatlarini kengaytirdi.
Asosiy tushunchalar
Differensial hisoblash matematikaning asosiy tushunchalariga asoslanadi. Ular: haqiqiy son, uzluksizlik, funksiya va chegara. Vaqt oʻtishi bilan ular integral va differentsial hisoblar tufayli zamonaviy koʻrinishga ega boʻldilar.
Yaratish jarayoni
Differensial hisobning amaliy, keyin esa ilmiy usul koʻrinishida shakllanishi falsafiy nazariya paydo boʻlishidan oldin sodir boʻlgan, u Nikolay Kuza tomonidan yaratilgan. Uning asarlari qadimgi ilm-fan hukmlaridan kelib chiqqan holda evolyutsion rivojlanish hisoblanadi. Faylasufning o'zi matematik bo'lmaganiga qaramay, uning matematika fanining rivojlanishiga qo'shgan hissasi shubhasizdir. Kuzanskiy birinchilardan boʻlib arifmetikani fanning eng aniq sohasi deb hisoblashdan voz kechib, oʻsha davr matematikasini shubha ostiga qoʻydi.
Qadimgi matematiklar birlikdan universal mezon sifatida foydalanganlar, faylasuf esa aniq raqam oʻrniga yangi oʻlchov sifatida cheksizlikni taklif qilgan. Shu munosabat bilan matematika fanida aniqlikning tasviri teskari. Ilmiy bilim, uning fikricha, ratsional va aqliy bilimlarga bo'linadi. Olimning fikricha, ikkinchisi aniqroq, chunki birinchisi faqat taxminiy natija beradi.
G'oya
Differensial hisoblashdagi asosiy gʻoya va tushuncha maʼlum nuqtalarning kichik mahallalaridagi funksiya bilan bogʻliq. Buning uchun o'rnatilgan nuqtalarning kichik qo'shnisidagi xatti-harakati polinom yoki chiziqli funktsiyaning xatti-harakatiga yaqin bo'lgan funktsiyani o'rganish uchun matematik apparatni yaratish kerak. Bu hosila va differentsial taʼrifiga asoslangan.
Hosila tushunchasining paydo boʻlishiga tabiiy fanlar va matematikadan koʻp sonli muammolar sabab boʻlgan,Bu bir xil turdagi chegaralar qiymatlarini topishga olib keldi.
Oʻrta maktabdan boshlab misol tariqasida keltiriladigan asosiy masalalardan biri toʻgʻri chiziq boʻylab harakatlanuvchi nuqtaning tezligini aniqlash va bu egri chiziqqa teginish chizigʻini qurishdir. Differensial shu bilan bog'liq, chunki chiziqli funktsiyaning ko'rib chiqilayotgan nuqtasining kichik qo'shnisida funktsiyani taxmin qilish mumkin.
Haqiqiy oʻzgaruvchi funksiyaning hosilasi tushunchasi bilan solishtirganda, differentsiallarning taʼrifi oddiygina umumiy xususiyatga ega funksiyaga, xususan, bitta Yevklid fazosining boshqasidagi tasviriga oʻtadi.
Hosila
Nuqta Oy o'qi yo'nalishi bo'yicha harakat qilsin, biz momentning ma'lum bir boshidan hisoblangan x ni oladigan vaqt uchun. Bunday harakatni y=f(x) funksiyasi bilan tasvirlash mumkin, bu funksiya harakatlanayotgan nuqta koordinatasining har bir x vaqt momentiga tayinlanadi. Mexanikada bu funksiya harakat qonuni deb ataladi. Harakatning asosiy xarakteristikasi, ayniqsa notekis, oniy tezlikdir. Nuqta mexanika qonuni boʻyicha Oy oʻqi boʻylab harakatlansa, tasodifiy vaqtning x momentida u f (x) koordinatasini oladi. X + Dx momentida, bu erda Dx vaqt o'sishini bildiradi, uning koordinatasi f(x + Dx) bo'ladi. Dy \u003d f (x + Dx) - f (x) formulasi shunday hosil bo'ladi, bu funktsiyaning o'sishi deb ataladi. U x dan x + Dx gacha bo'lgan vaqt oralig'ida bosib o'tgan yo'lni ifodalaydi.
Buning paydo boʻlishi tufaylivaqtdagi tezlik, hosila kiritiladi. Ixtiyoriy funktsiyada belgilangan nuqtadagi hosila chegara deb ataladi (agar mavjud bo'lsa). U ma'lum belgilar bilan belgilanishi mumkin:
f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).
Hosilalarni hisoblash jarayoni differensiallash deb ataladi.
Bir nechta oʻzgaruvchili funksiyaning differentsial hisobi
Bu hisoblash usuli bir nechta oʻzgaruvchiga ega funksiyani tekshirishda qoʻllaniladi. Ikkita x va y oʻzgaruvchisi boʻlganda, A nuqtadagi x ga nisbatan qisman hosila bu funksiyaning y oʻzgarmas x ga nisbatan hosilasi deyiladi.
Quyidagi belgilar bilan ifodalanishi mumkin:
f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x yoki ∂f(x, y)’/∂x.
Talab qilinadigan malakalar
Muvaffaqiyatli o'rganish va diffuzlarni yecha olish uchun integratsiya va differentsiatsiya ko'nikmalari talab qilinadi. Differensial tenglamalarni tushunishni osonlashtirish uchun siz hosila va noaniq integral mavzusini yaxshi tushunishingiz kerak. Bundan tashqari, aniq berilgan funktsiyaning hosilasini qanday topishni o'rganish zarar qilmaydi. Buning sababi shundaki, integrallarni o'rganish jarayonida va differentsiallashda ko'pincha foydalanish kerak bo'ladi.
Differensial tenglamalar turlari
Birinchi tartibli differensial tenglamalarga oid deyarli barcha test ishlarida 3 turdagi tenglamalar mavjud: bir hil, ajratiladigan oʻzgaruvchilarga ega, chiziqli bir jinsli.
Tenglamalarning kamdan-kam turlari ham bor: umumiy differentsiallar, Bernulli tenglamalari va boshqalar.
Qarorlar asoslari
Birinchidan, maktab kursidagi algebraik tenglamalarni eslab qolishingiz kerak. Ular o'zgaruvchilar va raqamlarni o'z ichiga oladi. Oddiy tenglamani yechish uchun berilgan shartni qanoatlantiradigan sonlar to‘plamini topish kerak. Qoidaga ko'ra, bunday tenglamalar bitta ildizga ega bo'lib, to'g'riligini tekshirish uchun bu qiymatni noma'lumga almashtirish kifoya edi.
Differensial tenglama shunga o'xshash. Umuman olganda, bunday birinchi tartibli tenglamaga quyidagilar kiradi:
- Mustaqil oʻzgaruvchi.
- Birinchi funktsiyaning hosilasi.
- Funksiya yoki bogʻliq oʻzgaruvchi.
Ba'zi hollarda noma'lumlardan biri, x yoki y etishmayotgan bo'lishi mumkin, ammo bu unchalik muhim emas, chunki yechim va differentsial uchun yuqori tartibli hosilalari bo'lmagan birinchi hosilaning mavjudligi zarur. hisob to'g'ri.
Differensial tenglamani yechish deganda berilgan ifodaga mos keladigan barcha funksiyalar toʻplamini topish tushuniladi. Bunday funktsiyalar to'plami ko'pincha DE ning umumiy yechimi deb ataladi.
Integral hisob
Integral hisobi - matematik analizning integral tushunchasi, xossalari va uni hisoblash usullarini oʻrganuvchi boʻlimlaridan biri.
Ko'pincha integralni hisoblash egri chiziqli figuraning maydonini hisoblashda sodir bo'ladi. Bu maydon ma'lum bir rasmga kiritilgan ko'pburchakning maydoni asta-sekin o'sib borishi bilan chegaralanganligini anglatadi, shu bilan birga bu tomonlar oldindan belgilangan har qanday o'zboshimchalikdan kamroq bo'lishi mumkin.kichik qiymat.
Ixtiyoriy geometrik figuraning maydonini hisoblashda asosiy g'oya to'rtburchakning maydonini hisoblash, ya'ni uning maydoni uzunlik va kenglik ko'paytmasiga teng ekanligini isbotlashdir. Geometriyaga kelsak, barcha konstruktsiyalar chizg'ich va sirkul yordamida amalga oshiriladi, keyin uzunlik va kenglik nisbati ratsional qiymatdir. To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini hisoblashda, agar siz uning yoniga bir xil uchburchakni qo'ysangiz, to'rtburchaklar hosil bo'lishini aniqlashingiz mumkin. Paralelogrammada maydon to'rtburchak va uchburchak orqali shunga o'xshash, ammo biroz murakkabroq usul bilan hisoblanadi. Ko'pburchaklarda maydon unga kiritilgan uchburchaklar orqali hisoblanadi.
Ixtiyoriy egri chiziqning tejamkorligini aniqlashda bu usul ishlamaydi. Agar siz uni bitta kvadratlarga ajratsangiz, unda to'ldirilmagan joylar bo'ladi. Bunday holda, yuqorida va pastda to'rtburchaklar bo'lgan ikkita qopqoqdan foydalanishga harakat qilinadi, natijada ular funktsiya grafigini o'z ichiga oladi va yo'q. Bu to'rtburchaklarga bo'linish usuli bu erda muhim bo'lib qolmoqda. Bundan tashqari, borgan sari kichikroq qismlarni olsak, yuqoridagi va pastdagi maydonlar ma'lum bir qiymatda birlashishi kerak.
To'rtburchaklarga bo'lish usuliga qaytish kerak. Ikkita mashhur usul mavjud.
Rimann Leybnits va Nyuton tomonidan yaratilgan integralning ta'rifini subgrafning maydoni sifatida rasmiylashtirdi. Bunday holda, ma'lum miqdordagi vertikal to'rtburchaklardan tashkil topgan va bo'linish yo'li bilan olingan raqamlar ko'rib chiqildi.segment. Bo'lim kamayishi bilan o'xshash raqamning maydoni qisqaradigan chegara mavjud bo'lsa, bu chegara berilgan oraliqdagi funktsiyaning Riemann integrali deb ataladi.
Ikkinchi usul Lebeg integralini qurish bo'lib, u aniqlangan maydonni integral qismlariga bo'lish joyi uchun va keyin bu qismlarda olingan qiymatlardan integral yig'indini tuzishdan iborat., uning qiymatlari diapazoni intervallarga bo'linadi va keyin ushbu integrallarning oldingi tasvirlarining tegishli o'lchovlari bilan umumlashtiriladi.
Zamonaviy imtiyozlar
Differensial va integral hisoblarni o'rganish bo'yicha asosiy qo'llanmalardan biri Fixtengolts tomonidan yozilgan - "Differensial va integral hisoblar kursi". Uning oʻquv qoʻllanmasi matematik analizni oʻrganish boʻyicha fundamental qoʻllanma boʻlib, koʻplab nashrlar va boshqa tillarga tarjima qilingan. Universitet talabalari uchun yaratilgan va uzoq vaqtdan beri ko'plab o'quv muassasalarida asosiy o'quv qo'llanmalaridan biri sifatida foydalanilgan. Nazariy ma'lumotlar va amaliy ko'nikmalar beradi. Birinchi marta 1948 yilda nashr etilgan.
Funksiyalarni oʻrganish algoritmi
Funksiyani differentsial hisoblash usullaridan foydalangan holda tekshirish uchun siz allaqachon berilgan algoritmga amal qilishingiz kerak:
- Funksiya doirasini toping.
- Berilgan tenglamaning ildizlarini toping.
- Ekstremallarni hisoblang. Buning uchun hosila va uning nolga teng nuqtalarini hisoblang.
- Olingan qiymatni tenglamaga almashtiring.
Differensial tenglamalar turlari
birinchi tartib nazorati (aks holda, differentsialbitta o'zgaruvchili hisob) va ularning turlari:
- Ajraladigan tenglama: f(y)dy=g(x)dx.
- Eng oddiy tenglamalar yoki bitta oʻzgaruvchili funksiyaning differentsial hisobi, formulasi: y'=f(x).
- Chiziqli bir hil boʻlmagan birinchi tartibli DE: y'+P(x)y=Q(x).
- Bernulli differentsial tenglamasi: y'+P(x)y=Q(x)ya.
- Toʻliq differentsialli tenglama: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.
Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar va ularning turlari:
- Doimiy koeffitsient qiymatli chiziqli ikkinchi tartibli bir jinsli differensial tenglama: y +py'+qy=0 p, q R ga tegishli.
- Oʻzgarmas koeffitsientli chiziqli bir hil boʻlmagan ikkinchi tartibli differensial tenglama: y +py'+qy=f(x).
- Chiziqli bir jinsli differentsial tenglama: y +p(x)y'+q(x)y=0 va bir jinsli ikkinchi tartibli tenglama: y +p(x)y'+q(x)y=f(x).
Yuqori tartibli differensial tenglamalar va ularning turlari:
- Tartibi bilan qisqartirilishi mumkin boʻlgan differentsial tenglama: F(x, y(k), y(k+1),.., y(n)=0.
- Chiziqli yuqori tartibli bir jinsli tenglama: y(n)+f(n-1)y(n- 1)+…+f1y'+f0y=0, va bir xil emas: y(n)+f(n-1)y(n-1)+…+f1 y'+f0y=f(x).
Differensial tenglama bilan muammoni yechish bosqichlari
Masofadan boshqarish pulti yordamida nafaqat matematik yoki fizikaviy savollar, balki turli masalalar ham echiladi.biologiya, iqtisodiyot, sotsiologiya va boshqalar. Mavzularning xilma-xilligiga qaramay, bunday muammolarni hal qilishda bitta mantiqiy ketma-ketlikka rioya qilish kerak:
- Masofadan boshqarish pulti kompilyatsiyasi. Maksimal aniqlikni talab qiladigan eng qiyin bosqichlardan biri, chunki har qanday xato butunlay noto'g'ri natijalarga olib keladi. Jarayonga ta'sir qiluvchi barcha omillarni hisobga olish va dastlabki shartlarni aniqlash kerak. Shuningdek, u faktlar va mantiqiy xulosalarga asoslanishi kerak.
- Tuzilgan tenglamaning yechimi. Bu jarayon birinchi bosqichga qaraganda oddiyroq, chunki u faqat qattiq matematik hisoblarni talab qiladi.
- Natijalarni tahlil qilish va baholash. Natijaning amaliy va nazariy qiymatini aniqlash uchun olingan yechim baholanishi kerak.
Tibbiyotda differentsial tenglamalardan foydalanishga misol
Tibbiyot sohasida masofadan boshqarish pultidan foydalanish epidemiologik matematik modelni yaratishda yuzaga keladi. Shu bilan birga, bu tenglamalar tibbiyotga yaqin bo'lgan biologiya va kimyo fanlarida ham borligini unutmaslik kerak, chunki bunda turli biologik populyatsiyalar va inson organizmidagi kimyoviy jarayonlarni o'rganish muhim o'rin tutadi.
Yuqoridagi epidemiya misolida biz izolyatsiya qilingan jamiyatda infektsiyaning tarqalishini ko'rib chiqishimiz mumkin. Aholisi uch turga bo'lingan:
- Infektsiyalangan, x(t) raqami, har biri yuqumli (inkubatsiya davri qisqa) boʻlgan infektsiya tashuvchisi, jismoniy shaxslardan iborat.
- Ikkinchi turga kiradisezgir shaxslar y(t) infektsiyalangan shaxslar bilan aloqa qilish orqali yuqishi mumkin.
- Uchinchi turga immunitetga ega boʻlgan yoki kasallik tufayli vafot etgan z(t) immunitetli shaxslar kiradi.
Jismoniy shaxslar soni doimiy, tug'ilish, tabiiy o'lim va migratsiya hisobga olinmaydi. Asosiy ikkita gipoteza bo'ladi.
Ma'lum bir vaqt nuqtasida kasallanish ulushi x(t)y(t) ni tashkil qiladi (kasallar soni kasal va sezgir vakillar o'rtasidagi kesishishlar soniga mutanosib bo'lgan nazariyaga asoslanadi, bu birinchi navbatda. yaqinlashish x(t)y(t) ga proportsional bo'ladi), shu munosabat bilan holatlar soni ortadi va sezgirlar soni ax(t)y(t) formulasi bilan hisoblangan tezlikda kamayadi. a > 0).
Immunitetga ega boʻlgan yoki oʻlgan immunitetli shaxslar soni kasallanishlar soniga mutanosib sur'atda ortib bormoqda, bx(t) (b > 0).
Natijada siz har uchala koʻrsatkichni hisobga olgan holda tenglamalar tizimini tuzishingiz va uning asosida xulosalar chiqarishingiz mumkin.
Iqtisodiyot misoli
Iqtisodiy tahlilda koʻpincha differentsial hisobdan foydalaniladi. Iqtisodiy tahlilning asosiy vazifasi iqtisoddan funktsiya shaklida yoziladigan miqdorlarni o'rganishdir. Bu soliqlar ko'paygandan so'ng darhol daromadning o'zgarishi, bojlar joriy etilishi, ishlab chiqarish tannarxi o'zgarganda kompaniya daromadining o'zgarishi, nafaqadagi ishchilarni yangi asbob-uskunalar bilan qanday nisbatda almashtirish kabi muammolarni hal qilishda foydalaniladi. Bunday muammolarni hal qilish uchun zarurkiritilgan oʻzgaruvchilardan ulanish funksiyasini yarating, soʻngra ular differentsial hisob yordamida oʻrganiladi.
Iqtisodiy sohada ko'pincha eng maqbul ko'rsatkichlarni topish kerak bo'ladi: maksimal mehnat unumdorligi, eng yuqori daromad, eng kam xarajatlar va boshqalar. Har bir bunday ko'rsatkich bir yoki bir nechta argumentlarning funktsiyasidir. Masalan, ishlab chiqarishni mehnat va kapital sarflarining funktsiyasi sifatida ko'rish mumkin. Shu munosabat bilan mos qiymatni topishni bir yoki bir nechta oʻzgaruvchilardan funksiyaning maksimal yoki minimalini topishga qisqartirish mumkin.
Bunday turdagi muammolar iqtisodiy sohada ekstremal muammolar sinfini yaratadi, ularni hal qilish uchun differentsial hisoblash kerak bo'ladi. Iqtisodiy ko'rsatkichni boshqa ko'rsatkichning funktsiyasi sifatida minimallashtirish yoki maksimallashtirish kerak bo'lganda, maksimal nuqtada, agar argumentning o'sishi nolga moyil bo'lsa, funktsiya o'sishining argumentlarga nisbati nolga moyil bo'ladi. Aks holda, bunday nisbat qandaydir ijobiy yoki salbiy qiymatga moyil bo'lsa, ko'rsatilgan nuqta mos kelmaydi, chunki argumentni oshirish yoki kamaytirish orqali siz bog'liq qiymatni kerakli yo'nalishda o'zgartirishingiz mumkin. Differensial hisoblash terminologiyasida bu funksiya maksimal uchun zarur shart uning hosilasining nol qiymati ekanligini bildiradi.
Iqtisodiyotda ko’pincha bir nechta o’zgaruvchili funksiyaning ekstremumini topish muammolari mavjud, chunki iqtisodiy ko’rsatkichlar ko’p omillardan iborat. Bu kabi savollar yaxshi.differensial hisoblash usullarini qo'llagan holda bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari nazariyasida o'rganildi. Bunday muammolar nafaqat maksimallashtirilgan va minimallashtirilgan funktsiyalarni, balki cheklovlarni ham o'z ichiga oladi. Bunday savollar matematik dasturlash bilan bog'liq bo'lib, ular maxsus ishlab chiqilgan usullar yordamida, shuningdek, ushbu fan bo'limiga asoslangan holda hal qilinadi.
Iqtisodiyotda qoʻllaniladigan differensial hisoblash usullari orasida muhim boʻlim marjinal tahlil hisoblanadi. Iqtisodiy sohada bu atama o'zgaruvchan ko'rsatkichlar va natijalarni ularning chegaraviy ko'rsatkichlarini tahlil qilish asosida yaratish, iste'mol qilish hajmini o'zgartirishda o'rganish usullari majmuasini anglatadi. Cheklovchi koʻrsatkich bir nechta oʻzgaruvchiga ega lotin yoki qisman hosilalardir.
Bir nechta oʻzgaruvchilarning differentsial hisobi matematik tahlil sohasidagi muhim mavzudir. Batafsil o'rganish uchun siz oliy ta'lim uchun turli xil darsliklardan foydalanishingiz mumkin. Eng mashhurlaridan biri Fixtengolts tomonidan yaratilgan - "Differensial va integral hisoblar kursi". Nomidan ko'rinib turibdiki, differensial tenglamalarni yechish uchun integrallar bilan ishlash ko'nikmalari katta ahamiyatga ega. Bitta o‘zgaruvchili funktsiyaning differentsial hisobi sodir bo‘lganda, yechim oddiyroq bo‘ladi. Shuni ta'kidlash kerakki, u bir xil asosiy qoidalarga bo'ysunadi. Funktsiyani differensial hisoblash yo'li bilan amalda o'rganish uchun o'rta maktabda berilgan va yangilari kiritilganda biroz murakkab bo'lgan allaqachon mavjud bo'lgan algoritmga amal qilish kifoya.oʻzgaruvchilar.
