Kosmosdagi samolyot. Samolyotlarning kosmosdagi joylashuvi

2024 Muallif: Angel Austin | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-01-02 17:58

Teklik - bu geometrik ob'ekt bo'lib, uning xususiyatlari nuqta va chiziqlar proyeksiyalarini qurishda, shuningdek, uch o'lchamli figuralar elementlari orasidagi masofalar va ikki tomonlama burchaklarni hisoblashda ishlatiladi. Keling, ushbu maqolada samolyotlarning fazoda joylashishini qanday tenglamalar yordamida o'rganish mumkinligini ko'rib chiqamiz.

Samolyot ta'rifi

Har kim intuitiv ravishda qaysi ob'ekt muhokama qilinishini tasavvur qiladi. Geometrik nuqtai nazardan, tekislik nuqtalar to'plamidir, ular orasidagi har qanday vektorlar bitta vektorga perpendikulyar bo'lishi kerak. Misol uchun, agar fazoda m xil nuqta bo'lsa, u holda ulardan m(m-1) / 2 ta turli vektorlar yasalishi mumkin, bu nuqtalarni juft-juft qilib bog'laydi. Agar barcha vektorlar qaysidir bir yoʻnalishga perpendikulyar boʻlsa, bu barcha m nuqtalar bir tekislikka tegishli boʻlishi uchun bu yetarli shartdir.

Umumiy tenglama

Fazal geometriyada tekislik odatda x, y va z o'qlariga mos keladigan uchta noma'lum koordinatani o'z ichiga olgan tenglamalar yordamida tasvirlanadi. Kimgafazodagi tekislik koordinatalaridagi umumiy tenglamani oling, faraz qilaylik vektor n¯(A; B; C) va M(x₀; y_{0 bor.}; z_{0). Bu ikki obyektdan foydalanib, tekislikni noyob tarzda aniqlash mumkin.}

Haqiqatan ham, koordinatalari noma'lum bo'lgan ikkinchi P(x; y; z) nuqta bor deb faraz qilaylik. Yuqorida berilgan ta'rifga ko'ra, MP¯ vektori n¯ ga perpendikulyar bo'lishi kerak, ya'ni ular uchun skalyar ko'paytma nolga teng. Keyin quyidagi ifodani yozishimiz mumkin:

(n¯MP¯)=0 yoki

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

Qavslarni ochib, yangi D koeffitsientini kiritsak, quyidagi ifodani olamiz:

Ax + By + Cz + D=0 bunda D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Bu ifoda tekislikning umumiy tenglamasi deyiladi. Shuni yodda tutish kerakki, x, y va z oldidagi koeffitsientlar tekislikka perpendikulyar n¯(A; B; C) vektorining koordinatalarini tashkil qiladi. Bu normal holatga to'g'ri keladi va samolyot uchun qo'llanma hisoblanadi. Umumiy tenglamani aniqlash uchun bu vektor qayerga yo'n altirilganligi muhim emas. Ya'ni, n¯ va -n¯ vektorlari ustiga qurilgan tekisliklar bir xil bo'ladi.

Yuqoridagi rasmda tekislik, unga normal vektor va tekislikka perpendikulyar chiziq koʻrsatilgan.

Oqlarda tekislik bilan kesilgan segmentlar va tegishli tenglama

Umumiy tenglama oddiy matematik amallar yordamida aniqlash imkonini beraditekislik koordinata o'qlarini qaysi nuqtalarda kesishadi. Samolyotning fazodagi joylashuvi haqida, shuningdek, chizmalarda tasvirlanganda tasavvurga ega bo'lish uchun bu ma'lumotni bilish juda muhim.

Nomlangan kesishish nuqtalarini aniqlash uchun segmentlardagi tenglamadan foydalaniladi. U (0; 0; 0) nuqtadan hisoblashda koordinata o'qlari bo'yicha tekislik bilan kesilgan segmentlar uzunliklarining qiymatlarini aniq o'z ichiga olganligi sababli shunday nomlangan. Keling, bu tenglamani olamiz.

Teklik uchun umumiy ifodani quyidagicha yozing:

Ax + By + Cz=-D

Chap va o'ng qismlar tenglikni buzmasdan -D ga bo'linishi mumkin. Bizda:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 yoki

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Har bir atamaning maxrajlarini yangi belgi bilan tuzing, biz quyidagilarni olamiz:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C keyin

x/p + y/q + z/r=1

Bu yuqorida segmentlarda tilga olingan tenglama. Bundan kelib chiqadiki, har bir atamaning maxrajining qiymati tekislikning mos keladigan o'qi bilan kesishishning koordinatasini ko'rsatadi. Masalan, u y o'qini (0; q; 0) nuqtada kesib o'tadi. Tenglamada nol x va z koordinatalarini almashtirsangiz, buni tushunish oson.

E'tibor bering, agar segmentlarda tenglamada o'zgaruvchi bo'lmasa, bu tekislik mos keladigan o'qni kesib o'tmasligini anglatadi. Masalan, ibora berilgan:

x/p + y/q=1

Bu tekislik mos ravishda x va y oʻqlaridagi p va q segmentlarini kesib tashlashini bildiradi, lekin u z oʻqiga parallel boʻladi.

Samolyotning harakati haqida xulosa qachonuning tenglamasida ba'zi o'zgaruvchining yo'qligi quyidagi rasmda ko'rsatilganidek, umumiy turdagi ifoda uchun ham to'g'ri keladi.

Vektor parametrik tenglama

Kosmosdagi tekislikni tasvirlashga imkon beruvchi uchinchi turdagi tenglama mavjud. U parametrik vektor deb ataladi, chunki u tekislikda yotgan ikkita vektor va ixtiyoriy mustaqil qiymatlarni qabul qila oladigan ikkita parametr tomonidan berilgan. Keling, bu tenglamani qanday olish mumkinligini ko'rsatamiz.

Bir nechta ma'lum vektorlar bor deylik u ¯(a₁; b₁; c₁) va v¯(a₂; b₂; c₂). Agar ular parallel bo'lmasa, u holda ushbu vektorlardan birining boshini ma'lum M nuqtaga (x₀; y_{0) mahkamlash orqali ma'lum bir tekislikni o'rnatish uchun foydalanish mumkin.}; z_{0). Agar ixtiyoriy MP¯ vektorni u¯ va v¯ chiziqli vektorlarning birikmasi sifatida tasvirlash mumkin bo'lsa, bu P(x; y; z) nuqtasi u¯, v¯ bilan bir xil tekislikka tegishli ekanligini bildiradi. Shunday qilib, biz tenglikni yozishimiz mumkin:}

MP¯=au¯ + bv¯

Yoki bu tenglikni koordinatalar boʻyicha yozsak:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + a(a₁; b₁; c₁) + b(a ₂; b₂; c₂₎

Taqdim etilgan tenglik tekislik uchun parametrik vektor tenglamasidir. DAu¯ va v¯ tekislikdagi vektor fazosi generatorlar deb ataladi.

Keyin, masalani yechishda bu tenglamani qanday qilib tekislik uchun umumiy koʻrinishga keltirish mumkinligi koʻrsatiladi.

Kosmosdagi tekisliklar orasidagi burchak

Intuitiv ravishda 3D fazodagi tekisliklar kesishishi yoki kesishmasligi mumkin. Birinchi holda, ular orasidagi burchakni topish qiziq. Bu burchakni hisoblash chiziqlar orasidagi burchakka qaraganda qiyinroq, chunki biz ikki tomonlama geometrik ob'ekt haqida gapiramiz. Biroq, yuqorida aytib o'tilgan samolyot uchun hidoyat vektori yordamga keladi.

Ikki kesishuvchi tekislik orasidagi ikki burchakli burchak ularning yoʻn altiruvchi vektorlari orasidagi burchakka aynan teng ekanligi geometrik jihatdan aniqlangan. Bu vektorlarni n₁¯(a₁; b₁; c_{1 deb belgilaymiz.) va n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2_{). Ularning orasidagi burchakning kosinusu skalyar mahsulotdan aniqlanadi. Ya'ni, tekisliklar orasidagi bo'shliqdagi burchakni quyidagi formula bilan hisoblash mumkin:}

ph=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Bu yerda maxrajdagi modul oʻtmas burchak qiymatini bekor qilish uchun ishlatiladi (kesuvchi tekisliklar orasida u har doim 90o dan kichik yoki unga teng).

Koordinata shaklida bu ifodani quyidagicha qayta yozish mumkin:

ph=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

Perpendikulyar va parallel tekisliklar

Agar tekisliklar kesishsa va ular hosil qilgan dihedral burchak 90o boʻlsa, ular perpendikulyar boʻladi. Bunday tekisliklarga to'rtburchak prizma yoki kub misol bo'la oladi. Bu raqamlar oltita tekislik bilan tuzilgan. Nomlangan raqamlarning har bir tepasida bir-biriga perpendikulyar uchta tekislik mavjud.

Ko’rib chiqilayotgan tekisliklarning perpendikulyar ekanligini bilish uchun ularning normal vektorlarining skalyar ko’paytmasini hisoblash kifoya. Tekisliklar fazosida perpendikulyarlik uchun yetarli shart bu mahsulotning nol qiymatidir.

Parallellar kesishmaydigan tekisliklar deyiladi. Ba'zan parallel tekisliklar cheksizlikda kesishadi, deb ham aytiladi. Tekisliklar fazosidagi parallellik sharti n₁¯ va n_{2¯ yoʻnalish vektorlari uchun shu shartga toʻgʻri keladi. Buni ikki usulda tekshirishingiz mumkin:}

Skayar ko’paytma yordamida ikki burchakli burchakning kosinusini (cos(ph)) hisoblang. Agar tekisliklar parallel bo'lsa, qiymat 1 bo'ladi.

Bir vektorni boshqa raqamga koʻpaytirish orqali tasvirlashga harakat qiling, yaʼni n₁¯=kn_{2¯. Agar buni amalga oshirish mumkin bo'lsa, unda mos keladigan samolyotlarparallel.}

Rasmda ikkita parallel tekislik koʻrsatilgan.

Endi olingan matematik bilimlardan foydalangan holda ikkita qiziqarli masalani yechishga misollar keltiramiz.

Vektor tenglamadan umumiy shakl qanday olinadi?

Bu tekislik uchun parametrik vektor ifodasi. Amallar oqimini va ishlatiladigan matematik hiylalarni tushunishni osonlashtirish uchun aniq bir misolni ko'rib chiqing:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + a(2; -1; 1) + b(0; 1; 3)

Ushbu ifodani kengaytiring va noma'lum parametrlarni ifodalang:

x=1 + 2a;

y=2 - a + b;

z=a + 3b

Keyin:

a=(x - 1)/2;

b=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

Oxirgi ifodadagi qavslarni ochib, biz quyidagilarni olamiz:

z=2x-2 + 3y - 6 yoki

2x + 3y - z - 8=0

Biz vektor koʻrinishidagi masala bayonida koʻrsatilgan tekislik uchun umumiy tenglamani oldik

Qanday qilib uch nuqta orqali samolyot yasash mumkin?

Agar bu nuqtalar qandaydir bitta toʻgʻri chiziqqa tegishli boʻlmasa, uchta nuqta orqali bitta tekislik oʻtkazish mumkin. Ushbu muammoni hal qilish algoritmi quyidagi harakatlar ketma-ketligidan iborat:

ikkita vektorning koordinatalarini juft-juft ma'lum nuqtalarni ulash orqali toping;
ularning koʻpaytmasini hisoblang va tekislikka normal vektorni oling;
topilgan vektor yordamida umumiy tenglamani yozing vauch nuqtadan istalgan biri.

Keling, aniq bir misol keltiraylik. Berilgan ballar: