Oʻzgaruvchilar nima? Matematikada o'zgaruvchan

2024 Muallif: Angel Austin | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-01-02 17:58

Matematikada oʻzgaruvchilarning ahamiyati katta, chunki uning mavjudligi davomida olimlar bu sohada koʻplab kashfiyotlar qilishga muvaffaq boʻlishdi va u yoki bu teoremani qisqacha va aniq bayon qilish uchun biz oʻzgaruvchilardan mos formulalarni yozamiz.. Masalan, to'g'ri burchakli uchburchakdagi Pifagor teoremasi: a² =b² + c^{2. Muammoni hal qilishda har safar qanday yozish kerak: Pifagor teoremasiga ko'ra, gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng - biz buni formula bilan yozamiz va hamma narsa darhol aniq bo'ladi.}

Demak, ushbu maqolada oʻzgaruvchilar nima ekanligi, ularning turlari va xususiyatlari muhokama qilinadi. Turli matematik ifodalar ham ko'rib chiqiladi: tengsizliklar, formulalar, tizimlar va ularni hal qilish algoritmlari.

Oʻzgaruvchi tushunchasi

Birinchidan, oʻzgaruvchi nima? Bu ko'p qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo'lgan raqamli qiymat. Bu doimiy bo'lishi mumkin emas, chunki turli xil muammolar va tenglamalarda qulaylik uchun biz echimlarni qabul qilamizo'zgaruvchan turli raqamlar, ya'ni, masalan, z - bu olingan miqdorlarning har biri uchun umumiy belgi. Odatda ular lotin yoki yunon alifbosi harflari bilan belgilanadi (x, y, a, b va boshqalar).

Har xil turdagi oʻzgaruvchilar mavjud. Ular ba'zi bir jismoniy miqdorlarni - yo'lni (S), vaqtni (t) va tenglamalar, funktsiyalar va boshqa ifodalarda oddiy noma'lum qiymatlarni o'rnatadilar.

Masalan, formula mavjud: S=Vt. Bu yerda oʻzgaruvchilar real dunyo bilan bogʻliq boʻlgan maʼlum miqdorlarni – yoʻl, tezlik va vaqtni bildiradi.

Va shakldagi tenglama mavjud: 3x - 16=12x. Bu erda x allaqachon mavhum raqam sifatida qabul qilingan va bu belgida ma'noga ega.

Miqdorlar turlari

Miqdor ma'lum bir narsa, modda yoki hodisaning xususiyatlarini ifodalovchi narsani anglatadi. Masalan, havo harorati, hayvonning vazni, planshetdagi vitaminlar ulushi - bularning barchasi raqamli qiymatlarini hisoblash mumkin bo'lgan miqdorlardir.

Har bir miqdorning oʻziga xos oʻlchov birliklari mavjud boʻlib, ular birgalikda tizimni tashkil qiladi. U sanoq tizimi (SI) deb ataladi.

O'zgaruvchilar va konstantalar nima? Ularni aniq misollar bilan ko'rib chiqing.

Toʻgʻri chiziqli bir tekis harakatni olaylik. Kosmosdagi nuqta har safar bir xil tezlikda harakat qiladi. Ya'ni, vaqt va masofa o'zgaradi, lekin tezlik bir xil bo'lib qoladi. Bu misolda vaqt va masofa oʻzgaruvchan, tezlik esa doimiy.

Yoki, masalan, “pi”. Bu takrorlanmasdan davom etadigan irratsional sonraqamlar ketma-ketligi va uni to'liq yozib bo'lmaydi, shuning uchun matematikada u faqat berilgan cheksiz kasrning qiymatini oladigan umumiy qabul qilingan belgi bilan ifodalanadi. Ya'ni, "pi" doimiy qiymatdir.

Tarix

Oʻzgaruvchilarni belgilash tarixi XVII asrda olim Rene Dekartdan boshlanadi.

U ma'lum qiymatlarni alifboning birinchi harflari bilan belgiladi: a, b va boshqalar, noma'lum uchun esa oxirgi harflardan foydalanishni taklif qildi: x, y, z. Shunisi e'tiborga loyiqki, Dekart bunday o'zgaruvchilarni manfiy bo'lmagan sonlar deb hisoblagan va manfiy parametrlarga duch kelganda o'zgaruvchining oldiga minus belgisini yoki sonning qaysi belgisi ekanligi ma'lum bo'lmasa, ellipsni qo'ygan. Ammo vaqt o'tishi bilan o'zgaruvchilarning nomlari har qanday belgining raqamlarini bildira boshladi va bu matematik Iogan Hudde bilan boshlangan.

Oʻzgaruvchilar bilan matematikada hisoblarni yechish osonroq, chunki, masalan, biz hozir bikvadrat tenglamalarni qanday yechamiz? Biz o'zgaruvchini kiritamiz. Masalan:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

x2 uchun biz bir oz k olamiz va tenglama aniq bo'ladi:

x2=k, k ≧ 0 uchun

k2 + 15k + 7=0

Matematikaga oʻzgaruvchilarning kiritilishi aynan mana shu narsaga olib keladi.

Tengsizliklar, yechimlarga misollar

Tengsizlik - bu ikkita matematik ifoda yoki ikkita raqam taqqoslash belgilari bilan bog'langan yozuv:, ≦, ≧. Ular qat'iy va belgilar bilan ko'rsatiladi yoki ≦, ≧ belgilari bilan qat'iy emas.

Bu belgilar birinchi marta kiritildiTomas Xarriot. Tomasning oʻlimidan soʻng uning bu yozuvlar bilan kitobi nashr etildi, matematiklarga ular yoqdi va vaqt oʻtishi bilan ular matematik hisob-kitoblarda keng qoʻllanila boshlandi.

Bir oʻzgaruvchili tengsizliklarni yechishda bir nechta qoidalarga amal qilish kerak:

Raqamni tengsizlikning bir qismidan ikkinchisiga oʻtkazishda uning ishorasini teskarisiga oʻzgartiring.
Tengsizlik qismlarini manfiy songa koʻpaytirish yoki boʻlishda ularning belgilari teskari boʻladi.
Agar siz tengsizlikning ikkala tomonini musbat songa koʻpaytirsangiz yoki boʻlsangiz, siz asl tengsizlikka erishasiz.

Tengsizlikni yechish oʻzgaruvchi uchun barcha haqiqiy qiymatlarni topishni anglatadi.

Bir oʻzgaruvchiga misol:

10x - 50 > 150

Biz uni oddiy chiziqli tenglama kabi yechamiz - o'zgaruvchisi bo'lgan shartlarni chapga, o'zgaruvchisiz - o'ngga siljitamiz va shunga o'xshash shartlarni beramiz:

10x > 200

Tengsizlikning ikkala tomonini 10 ga boʻlamiz va quyidagini olamiz:

x > 20

Aniqlik uchun bitta oʻzgaruvchili tengsizlikni yechish misolida son chizigʻini chizing, undagi teshilgan 20 nuqtasini belgilang, chunki tengsizlik qatʼiy va bu raqam uning yechimlari toʻplamiga kiritilmagan..

Bu tengsizlikning yechimi (20; +∞) intervaldir.

Qat'iy bo'lmagan tengsizlikni yechish qat'iy tengsizlik bilan bir xil tarzda amalga oshiriladi:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Lekin bitta istisno bor. X ≧ 5 shaklidagi yozuvni quyidagicha tushunish kerak: x beshdan katta yoki teng, ya'nibesh raqami tengsizlikning barcha yechimlari to'plamiga kiradi, ya'ni javobni yozishda besh raqamining oldiga kvadrat qavs qo'yamiz.

x ∈ [5; +∞)

Kvadrat tengsizliklar

Agar ax2 + bx +c=0 ko’rinishdagi kvadrat tenglamani olsak va undagi tenglik belgisini tengsizlik belgisiga o’zgartirsak, shunga mos ravishda tenglamani olamiz. kvadrat tengsizlik.

Kvadrat tengsizlikni yechish uchun kvadrat tenglamalarni yecha bilish kerak.

y=ax2 + bx + c kvadratik funksiya. Biz uni diskriminant yordamida yoki Vieta teoremasi yordamida hal qilishimiz mumkin. Ushbu tenglamalar qanday yechilganini eslang:

1) y=x2 + 12x + 11 - funksiya parabola. Uning shoxlari yuqoriga yo'n altirilgan, chunki "a" koeffitsientining belgisi musbat.

2) x2 + 12x + 11=0 - nolga tenglashtiring va diskriminant yordamida yeching.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 ta ildiz

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasiga ko'ra, biz olamiz:

x₁ =-1, x_2=-11

Yoki bu tenglamani Vieta teoremasi yordamida yechishingiz mumkin:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Tanlash usulidan foydalanib, biz tenglamaning bir xil ildizlarini olamiz.

Parabola

Demak, kvadrat tengsizlikni yechishning birinchi usuli bu parabola. Uni yechish algoritmi quyidagicha:

1. Parabolaning shoxlari qayerga yoʻn altirilganligini aniqlang.

2. Funksiyani nolga tenglang va tenglamaning ildizlarini toping.

3. Biz raqamlar chizig'ini quramiz, uning ustidagi ildizlarni belgilaymiz, parabola chizamiz va tengsizlik belgisiga qarab kerakli bo'shliqni topamiz.

Tengsizlikni yeching x2 + x - 12 > 0

Funksiya sifatida yozing:

1) y=x2 + x - 12 - parabola, yuqoriga shoxlanadi.

Nolga sozlangan.

2) x2 + x -12=0

Keyin, kvadrat tenglama sifatida yechamiz va funksiyaning nollarini topamiz:

x₁ =3, x_2=-4

3) 3 va -4 nuqtalari boʻlgan son chizigʻini chizing. Parabola ular orqali o'tadi, shoxlanadi va tengsizlikning javobi ijobiy qiymatlar to'plami bo'ladi, ya'ni (-∞; -4), (3; +∞).

Interval usuli

Ikkinchi usul - oraliq usuli. Uni yechish algoritmi:

1. Tengsizlik nolga teng boʻlgan tenglamaning ildizlarini toping.

2. Biz ularni raqamlar qatorida belgilaymiz. Shunday qilib, u bir nechta intervallarga bo'linadi.

3. Har qanday intervalning belgisini aniqlang.

4. Belgilarni qolgan oraliqlarga joylashtiramiz, ularni birdan keyin almashtiramiz.

Tengsizlikni yeching (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) Tengsizlik nollari: 4, 5 va -7.

2) Ularni raqamlar qatoriga chizing.

3) Intervallar belgilarini aniqlang.

Javob: (-∞; -7]; [4; 5].

Yana bir tengsizlikni yeching: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Tengsizlik nollari: 0, 2, -2 va 1.

2. Ularni raqam qatorida belgilang.

3. Interval belgilarini aniqlang.

Chiziq intervallarga bo'lingan - -2 dan 0 gacha, 0 dan 1 gacha, 1 dan 2 gacha.

Birinchi intervaldagi qiymatni oling - (-1). Tengsizlikda almashtiring. Bu qiymat bilan tengsizlik musbat bo'ladi, ya'ni bu intervaldagi belgi + bo'ladi.

Bundan tashqari, birinchi bo'shliqdan boshlab, biz belgilarni tartibga solamiz, ularni birdan keyin almashtiramiz.

Tengsizlik noldan katta, ya'ni chiziqda ijobiy qiymatlar to'plamini topishingiz kerak.

Javob: (-2; 0), (1; 2).

Tenglamalar tizimlari

Ikki oʻzgaruvchili tenglamalar tizimi jingalak qavs bilan birlashtirilgan ikkita tenglama boʻlib, ular uchun umumiy yechim topish zarur.

Tizimlardan birining umumiy yechimi ikkinchisining yechimi boʻlsa yoki ikkalasida ham yechim boʻlmasa, tizimlar ekvivalent boʻlishi mumkin.

Ikki oʻzgaruvchili tenglamalar sistemalarining yechimini oʻrganamiz. Ularni echishning ikkita usuli bor - almashtirish usuli yoki algebraik usul.

Algebraik usul

Rasmda ko'rsatilgan tizimni ushbu usul yordamida yechish uchun avval uning qismlaridan birini shunday songa ko'paytirish kerak, shunda keyin tenglamaning ikkala qismidan bitta o'zgaruvchini o'zaro bekor qilish mumkin. Bu erda biz uchga ko'paytiramiz, tizim ostida chiziq chizamiz va uning qismlarini qo'shamiz. Natijada, x moduli bo'yicha bir xil, lekin ishorasi bo'yicha qarama-qarshi bo'lib, biz ularni kamaytiramiz. Keyin bitta oʻzgaruvchiga ega chiziqli tenglamani olamiz va uni yechamiz.

Biz Y ni topdik, lekin u erda toʻxtab boʻlmaydi, chunki biz hali X ni topmadik. O'rinbosarXni olib tashlash qulay bo'lgan qismga Y, masalan:

-x + 5y=8, y=1 bilan

-x + 5=8

Olingan tenglamani yeching va x toping.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Tizim yechimida asosiy narsa javobni toʻgʻri yozishdir. Ko'p talabalar yozishda xato qiladilar:

Javob: -3, 1.

Lekin bu notoʻgʻri kiritilgan. Axir, yuqorida aytib o'tilganidek, tenglamalar tizimini echishda biz uning qismlari uchun umumiy echimni qidiramiz. To'g'ri javob:

(-3; 1)