Toʻplamlar misolidagi munosabatlarning keng doirasi ularning taʼriflaridan boshlab paradokslarning analitik tahliligacha boʻlgan koʻp sonli tushunchalar bilan birga keladi. To'plamdagi maqolada muhokama qilingan kontseptsiyaning xilma-xilligi cheksizdir. Garchi, dual turlar haqida gapirganda, bu bir nechta qiymatlar orasidagi ikkilik munosabatlarni anglatadi. Shuningdek, ob'ektlar yoki bayonotlar orasida.
Qoida tariqasida, ikkilik munosabatlar R belgisi bilan belgilanadi, ya'ni agar R maydonining istalgan x qiymati uchun xRx bo'lsa, bunday xususiyat refleksiv deyiladi, bunda x va x tafakkur ob'ekti sifatida qabul qilinadi. va R individlar o'rtasidagi munosabatlarning yoki boshqa shaklning belgisi bo'lib xizmat qiladi. Shu bilan birga, agar siz xRy® yoki yRx ni ifodalasangiz, bu simmetriya holatini ko'rsatadi, bu erda ® "agar … keyin …" birlashmasiga o'xshash implikatsiya belgisidir. Va nihoyat, dekodlash yozuvi (xRy Ùy Rz) ®xRz o‘tish munosabati haqida, Ù belgisi esa bog‘lovchidir.
Ham refleksiv, ham simmetrik, ham o’tish xususiyatiga ega bo’lgan ikkilik munosabat ekvivalentlik munosabati deyiladi. f munosabati funksiya bo’lib, y=z tenglik Î f va Î f dan kelib chiqadi. Oddiy ikkilik funktsiyani osongina qo'llash mumkinma'lum bir tartibda ikkita oddiy argumentga va faqat shu holatda u ma'lum bir holatda olingan ushbu ikki iboraga qaratilgan ma'noni beradi.
Aytish kerakki, f x ni yga moslashtiradi,
agar f funksiya x diapazoni va y diapazoni bo'lsa. Biroq, f x ni y ga va y Í z ga ekstrapolyatsiya qilganda, bu f ni z ichida x ko'rsatishiga olib keladi. Oddiy misol: agar f(x)=2x ixtiyoriy x butun son uchun to'g'ri bo'lsa, u holda f barcha ma'lum butun sonlarning ishorali to'plamini bir xil, lekin bu safar juft sonlar to'plamiga ko'rsatish uchun aytiladi. Yuqorida aytib o'tilganidek, refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo'lgan ikkilik munosabatlar ekvivalent munosabatlardir.
Yuqoriga asoslanib, ikkilik munosabatlarning ekvivalentlik munosabatlari quyidagi xususiyatlar bilan aniqlanadi:
- reflektorlik - nisbat (M ~ N);
- simmetriyalar - agar tenglik M ~ N bo'lsa, u holda N ~ M bo'ladi;
- o'tish - agar ikkita tenglik M ~ N va N ~ P bo'lsa, natijada M ~ P.
Binar munosabatlarning e'lon qilingan xususiyatlarini batafsil ko'rib chiqamiz. Reflektorlik ma'lum bog'lanishlarning xususiyatlaridan biri bo'lib, o'rganilayotgan to'plamning har bir elementi o'ziga berilgan tenglikda bo'ladi. Misol uchun, a=c va a³ c raqamlari o'rtasida refleksli bog'lanishlar mavjud, chunki har doim a=a, c=c, a³ a, c³ c. Shu bilan birga, a>a tengsizlikning mavjud bo'lishi mumkin emasligi sababli a>c tengsizlik munosabati antirefleksdir. Ushbu xususiyatning aksiomasi quyidagi belgilar bilan kodlangan: aRc®aRa Ù cRc, bu erda ® belgisi "o'z ichiga oladi" (yoki "o'z ichiga oladi") so'zini anglatadi va Ù belgisi - "va" (yoki birikma) birlashmasidir. Ushbu bayonotdan kelib chiqadiki, agar aRc hukmi to'g'ri bo'lsa, aRa va cRc iboralari ham haqiqatdir.
Simmetriya aqliy ob'ektlar o'zaro almashtirilgan taqdirda ham munosabatlarning mavjudligini nazarda tutadi, ya'ni simmetrik munosabat bilan ob'ektlarning qayta joylashishi "ikkilik munosabatlar" turini o'zgartirishga olib kelmaydi. Masalan, a=c tenglik munosabati c=a munosabatining ekvivalentligi tufayli simmetrikdir; a¹c taklifi ham bir xil, chunki u¹a bilan bog'lanishga mos keladi.
Oʻtishli toʻplam quyidagi talabni qanoatlantiradigan xossadir: y n x, z n y ® z n x, bu yerda ® – “agar …, keyin …” soʻzlari oʻrnini bosuvchi belgi. Formula og'zaki ravishda quyidagicha o'qiladi: "Agar y x ga bog'liq bo'lsa, z y ga tegishli bo'lsa, z ham x ga bog'liq".
