Ehtimollar nazariyasini o’rganish ehtimollarni qo’shish va ko’paytirish masalalarini yechishdan boshlanadi. Darhol aytib o'tish joizki, ushbu bilim sohasini o'zlashtirganda, talaba muammoga duch kelishi mumkin: agar fizik yoki kimyoviy jarayonlarni vizual tarzda tasvirlash va empirik tushunish mumkin bo'lsa, unda matematik abstraktsiya darajasi juda yuqori va bu erda tushunish faqat shu bilan birga keladi. tajriba.
Ammo, oʻyin shamga arziydi, chunki ushbu maqolada koʻrib chiqilgan va murakkabroq formulalar bugungi kunda hamma joyda qoʻllaniladi va ular ishda foydali boʻlishi mumkin.
Origin
G'alati, matematikaning ushbu bo'limining rivojlanishiga turtki … qimor o'yinlari edi. Darhaqiqat, zar, tanga otish, poker, rulet ehtimollarni qo'shish va ko'paytirishdan foydalanadigan odatiy misollardir. Har qanday darslikdagi topshiriqlar misolida buni aniq ko'rish mumkin. Odamlar g'alaba qozonish imkoniyatlarini qanday oshirishni o'rganishga qiziqishdi va aytishim kerakki, ba'zilari bunga muvaffaq bo'lishdi.
Masalan, 21-asrda, biz ismini oshkor qilmaymiz, bir kishi,asrlar davomida to'plangan bu bilimlardan kazinoni tom ma'noda "tozalash" uchun ishlatib, ruletkada bir necha o'n million dollar yutib oldi.
Ammo bu fanga qiziqish ortishiga qaramay, faqat 20-asrgacha nazariy asos ishlab chiqildi, bu esa «teoror»ni matematikaning toʻlaqonli tarkibiy qismiga aylantirdi. Bugungi kunda deyarli har qanday fanda ehtimollik usullaridan foydalangan holda hisob-kitoblarni topishingiz mumkin.
Qoʻllash imkoniyati
Ehtimallarni qo'shish va ko'paytirish formulalarini qo'llashda muhim nuqta, shartli ehtimollik markaziy chegara teoremasining qoniqtirilishidir. Aks holda, talaba tomonidan amalga oshirilmasa ham, barcha hisob-kitoblar qanchalik asosli ko‘rinmasin, noto‘g‘ri bo‘ladi.
Ha, yuqori ishtiyoqli oʻquvchi har qanday imkoniyatda yangi bilimlardan foydalanishga intiladi. Ammo bu holda, biroz sekinlashtirib, qo'llash doirasini qat'iy belgilab qo'yish kerak.
Ehtimollar nazariyasi tasodifiy hodisalar bilan shug'ullanadi, ular empirik ma'noda tajribalar natijasidir: biz olti qirrali matritsani aylantira olamiz, palubadan kartani chizishimiz, partiyadagi nuqsonli qismlar sonini taxmin qilishimiz mumkin. Biroq, ba'zi savollarda matematikaning ushbu bo'limidagi formulalardan foydalanish mutlaqo mumkin emas. Hodisa ehtimolini ko‘rib chiqish xususiyatlarini, hodisalarni qo‘shish va ko‘paytirish teoremalarini maqola oxirida muhokama qilamiz, ammo hozircha misollarga murojaat qilaylik.
Asosiy tushunchalar
Tasodifiy hodisa deganda paydo boʻlishi yoki koʻrinmasligi mumkin boʻlgan jarayon yoki natija tushuniladitajriba natijasida. Misol uchun, biz sendvichni tashlaymiz - u sariyog 'yuqoriga tushishi yoki sariyog' tushishi mumkin. Ikkala natijaning har biri tasodifiy bo'ladi va biz ulardan qaysi biri sodir bo'lishini oldindan bilmaymiz.
Ehtimallarni qoʻshish va koʻpaytirishni oʻrganayotganda bizga yana ikkita tushuncha kerak boʻladi.
Birgalikda sodir bo'ladigan hodisalar - bu birining sodir bo'lishi boshqasining sodir bo'lishini istisno qilmaydi. Aytaylik, ikki kishi bir vaqtning o'zida nishonga o'q uzdi. Agar ulardan biri muvaffaqiyatli zarba bersa, bu ikkinchisining urish yoki o‘tkazib yuborish qobiliyatiga ta’sir qilmaydi.
Bir vaqtning o'zida sodir bo'lishi mumkin bo'lmagan bunday hodisalar nomuvofiq bo'ladi. Masalan, qutidan faqat bitta to‘p chiqarib, birdaniga ko‘k va qizil rangni ololmaysiz.
Tayinlash
Ehtimollik tushunchasi lotincha P bosh harfi bilan belgilanadi. Keyingi qavs ichida ba'zi hodisalarni bildiruvchi argumentlar mavjud.
Qo’shish teoremasi, shartli ehtimollik, ko’paytirish teoremasi formulalarida qavs ichidagi ifodalarni ko’rasiz, masalan: A+B, AB yoki A|B. Ular turli usullar bilan hisoblab chiqiladi, endi biz ularga murojaat qilamiz.
Qoʻshimcha
Qoʻshish va koʻpaytirish formulalari qoʻllaniladigan holatlarni koʻrib chiqaylik.
Mos kelmaydigan hodisalar uchun eng oddiy qoʻshish formulasi mos keladi: tasodifiy natijalarning ehtimoli bu natijalarning har birining ehtimoli yigʻindisiga teng boʻladi.
Deylik, qutida 2 ta koʻk, 3 ta qizil va 5 ta sariq sharcha bor. Qutida jami 10 ta narsa bor. Ko'k yoki qizil to'p chizamiz degan gapning haqiqati necha foizni tashkil qiladi? U 2/10 + 3/10, ya'ni ellik foizga teng bo'ladi.
Mos kelmaydigan hodisalarda formula murakkablashadi, chunki qoʻshimcha atama qoʻshiladi. Yana bitta formulani ko‘rib chiqqach, unga bir paragrafda qaytamiz.
Ko'paytirish
Mustaqil hodisalar ehtimolini qo’shish va ko’paytirish turli hollarda qo’llaniladi. Agar tajriba shartiga ko'ra biz ikkita mumkin bo'lgan natijadan birortasi bilan qanoatlansak, yig'indini hisoblaymiz; Agar biz ikkita aniq natijani ketma-ket olishni istasak, boshqa formuladan foydalanamiz.
Oldingi qismdagi misolga qaytsak, biz avval ko'k to'pni, keyin esa qizilni chizmoqchimiz. Biz bilgan birinchi raqam 2/10. Keyin nima bo'ladi? 9 ta to'p qoldi, hali ham bir xil miqdordagi qizil to'plar bor - uchta bo'lak. Hisob-kitoblarga ko'ra, siz 3/9 yoki 1/3 olasiz. Ammo endi ikkita raqam bilan nima qilish kerak? Toʻgʻri javob 2/30 olish uchun koʻpaytiriladi.
Qo'shma tadbirlar
Endi biz qoʻshma tadbirlar uchun yigʻindi formulasini qayta koʻrib chiqishimiz mumkin. Nega biz mavzudan chetga chiqyapmiz? Ehtimollar qanday ko'paytirilishini o'rganish. Endi bu bilim sizga yordam beradi.
Biz birinchi ikkita atama nima boʻlishini allaqachon bilamiz (oldin koʻrib chiqilgan qoʻshish formulasi bilan bir xil), endi ayirishimiz kerak.biz endigina hisoblashni o'rgangan ehtimollar mahsuloti. Aniqlik uchun formulani yozamiz: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Ma’lum bo‘lishicha, ehtimollarni qo‘shish ham, ko‘paytirish ham bitta ifodada qo‘llaniladi.
Kredit olish uchun ikkita muammodan birini hal qilishimiz kerak deylik. Birinchisini 0,3, ikkinchisini esa 0,6 ehtimollik bilan yechishimiz mumkin Yechim: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72. E'tibor bering, bu yerda raqamlarni yig'ishning o'zi etarli bo'lmaydi.
Shartli ehtimol
Nihoyat, shartli ehtimollik tushunchasi mavjud boʻlib, uning argumentlari qavs ichida koʻrsatilgan va vertikal chiziq bilan ajratilgan. P(A|B) yozuvi quyidagicha o'qiladi: “A hodisasi berilgan B hodisasi ehtimoli”.
Bir misolni ko'rib chiqaylik: do'stingiz sizga qandaydir qurilma beradi, u telefon bo'lsin. Buzilgan (20%) yoki yaxshi (80%) bo'lishi mumkin. Sizning qo'lingizga tushgan har qanday qurilmani 0,4 ehtimollik bilan ta'mirlashga qodirsiz yoki buni qila olmaysiz (0,6). Nihoyat, agar qurilma ishlayotgan bo'lsa, siz 0,7 ehtimollik bilan kerakli odamga murojaat qilishingiz mumkin.
Shartli ehtimollik bu holatda qanday ishlashini tushunish oson: telefon buzilgan bo'lsa, odamga kira olmaysiz, agar u yaxshi bo'lsa, uni tuzatishingiz shart emas. Shunday qilib, "ikkinchi daraja" bo'yicha biron bir natijaga erishish uchun birinchisida qanday voqea amalga oshirilganligini bilishingiz kerak.
Hisob-kitoblar
Avvalgi xatboshidagi ma'lumotlardan foydalanib, ehtimollarni qo'shish va ko'paytirishga oid masalalarni yechish misollarini ko'rib chiqamiz.
Avval siz bo'lish ehtimolini topamizsizga berilgan qurilmani ta'mirlang. Buning uchun, birinchi navbatda, u noto'g'ri bo'lishi kerak, ikkinchidan, ta'mirlash bilan kurashishingiz kerak. Bu odatiy ko'paytirish muammosi: biz 0,20,4=0,08 ni olamiz.
To'g'ri odamga darhol etib borishingiz ehtimoli qanday? Oddiydan ham oson: 0,80,7=0,56. Bunday holda siz telefon ishlayotganini aniqladingiz va qo'ng'iroq muvaffaqiyatli amalga oshirildi.
Nihoyat, ushbu stsenariyni ko'rib chiqing: siz buzilgan telefon oldingiz, uni tuzatdingiz, keyin raqamni terdingiz va qarama-qarshi tomondagi odam telefonga javob berdi. Bu erda uchta komponentni ko'paytirish allaqachon talab qilinadi: 0, 20, 40, 7=0, 056.
Agar sizda bir vaqtning oʻzida ikkita ishlamayotgan telefoningiz boʻlsa-chi? Ulardan kamida bittasini tuzatish ehtimoli qanchalik katta? Bu ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish muammosi, chunki qo'shma hodisalar ishlatiladi. Yechish: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Ehtiyotkorlik bilan foydalaning
Maqolaning boshida aytib o'tilganidek, ehtimollar nazariyasidan foydalanish ataylab va ongli bo'lishi kerak.
Tajribalar seriyasi qanchalik koʻp boʻlsa, nazariy jihatdan bashorat qilingan qiymat amaliy qiymatga shunchalik yaqin boʻladi. Misol uchun, biz tanga tashlaymiz. Nazariy jihatdan, ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish formulalari mavjudligini bilib, biz tajribani 10 marta o'tkazsak, bosh va dumlar necha marta tushishini taxmin qilishimiz mumkin. Biz tajriba o'tkazdik vaTasodifan tushib ketgan tomonlarning nisbati 3 dan 7 gacha bo'lgan. Ammo agar siz 100, 1000 yoki undan ko'p urinishlar ketma-ketligini o'tkazsangiz, taqsimlash grafigi nazariyaga tobora yaqinlashib borayotgani ma'lum bo'ladi: 44 dan 56 gacha, 482 ga. 518 va hokazo.
Endi tasavvur qiling-a, bu tajriba tanga bilan emas, balki qandaydir yangi kimyoviy moddani ishlab chiqarish bilan amalga oshirilmoqda, buning ehtimoli biz bilmaymiz. Biz 10 ta tajriba o'tkazardik va agar muvaffaqiyatli natijaga erisha olmasak, umumlashtirishimiz mumkin: "moddani olish mumkin emas". Ammo kim biladi, agar biz o'n birinchi urinishda bo'lsak, maqsadga erisharmidik yoki yo'qmi?
Demak, agar siz noma'lum, o'rganilmagan sohaga kirsangiz, ehtimollik nazariyasi qo'llanilmasligi mumkin. Bu holatda har bir keyingi urinish muvaffaqiyatli bo'lishi mumkin va "X mavjud emas" yoki "X imkonsiz" kabi umumlashtirishlar erta bo'ladi.
Yakunlovchi so'z
Shuning uchun biz qoʻshishning ikki turini, koʻpaytirish va shartli ehtimollarni koʻrib chiqdik. Ushbu sohani qo'shimcha o'rganish bilan har bir aniq formuladan foydalanilganda vaziyatlarni ajratishni o'rganish kerak. Bundan tashqari, muammoni hal qilishda ehtimollik usullarini qo‘llash mumkinligini tushunishingiz kerak.
Agar siz mashq qilsangiz, bir muncha vaqt o'tgach, barcha kerakli operatsiyalarni faqat o'z ongingizda bajarishni boshlaysiz. Karta o'yinlarini yaxshi ko'radiganlar uchun bu mahoratni hisobga olish mumkinjuda qimmatli - ma'lum bir karta yoki kostyumning tushib qolish ehtimolini hisoblash orqali siz g'alaba qozonish imkoniyatingizni sezilarli darajada oshirasiz. Biroq, olingan bilimlarni faoliyatning boshqa sohalarida osongina qo'llash mumkin.
