Hosilma tushunchasi har birimizga maktab davridan tanish boʻlsa kerak. Odatda talabalar buni tushunishda qiynaladilar, shubhasiz, juda muhim. U odamlar hayotining turli sohalarida faol qo'llaniladi va ko'plab muhandislik ishlanmalari lotin yordamida olingan matematik hisob-kitoblarga asoslangan edi. Ammo raqamlarning hosilalari nima ekanligini, ularni qanday hisoblashni va ular biz uchun qayerda foydali ekanligini tahlil qilishdan oldin, keling, tarixga o'taylik.
Tarix
Matematik analizning asosi boʻlgan hosila tushunchasini (“ixtiro qilingan” deyish toʻgʻri boʻlardi, chunki u tabiatda bunday yoʻq edi) barchamizga maʼlum boʻlgan Isaak Nyuton tomonidan kashf etilgan. Umumjahon tortishish qonunining kashf etilishidan. Aynan u jismlarning tezligi va tezlanishi tabiatini bog'lash uchun fizikada bu tushunchani birinchi marta qo'llagan. Va ko'plab olimlar hali ham Nyutonni ushbu ajoyib ixtiro uchun maqtashadi, chunki u aslida differensial va integral hisoblarning asosini, aslida "hisoblash" deb nomlangan butun matematikaning asosini ixtiro qilgan. Agar o'sha paytda Nobel mukofoti bo'lganida, Nyuton uni bir necha bor katta ehtimol bilan olgan bo'lardi.
Boshqa buyuk aqllarsiz emas. Nyutondan tashqariLeonhard Eyler, Lui Lagranj va Gotfrid Leybnits kabi mashhur matematik daholar hosila va integralni yaratish ustida ishladilar. Aynan ular tufayli biz differensial hisoblash nazariyasini hozirgi kungacha mavjud bo'lgan shaklda oldik. Aytgancha, aynan Leybnits hosilasining geometrik ma’nosini kashf etgan, bu esa funksiya grafigiga teginish qiyaligining tangensidan boshqa narsa emasligi ma’lum bo‘ldi.
Raqamlarning hosilalari nima? Keling, maktabda boshidan kechirganlarimizni bir oz takrorlaylik.
Hosila nima?
Ushbu kontseptsiyani turli yo'llar bilan ta'riflash mumkin. Eng oddiy tushuntirish shundan iboratki, hosila funktsiyaning o'zgarish tezligidir. X ning qandaydir y funksiyasining grafigini tasavvur qiling. Agar u to'g'ri bo'lmasa, unda grafikda ba'zi egri chiziqlar, o'sish va pasayish davrlari mavjud. Agar biz ushbu grafikning cheksiz kichik oralig'ini olsak, u to'g'ri chiziq segmenti bo'ladi. Demak, bu cheksiz kichik segmentning y koordinatasi bo‘yicha o‘lchamining x koordinatasi bo‘yicha o‘lchamiga nisbati berilgan nuqtada bu funksiyaning hosilasi bo‘ladi. Agar funktsiyani ma'lum bir nuqtada emas, balki butun sifatida ko'rib chiqsak, unda hosilaviy funktsiyani, ya'ni y ning x ga ma'lum bog'liqligini olamiz.
Bundan tashqari, hosilaning funktsiyaning oʻzgarish tezligi sifatidagi fizik maʼnosidan tashqari, geometrik maʼnosi ham mavjud. Hozir u haqida gaplashamiz.
Geometrik ma'no
Raqamlarning hosilalari ma'lum bir sonni ifodalaydi, ular to'g'ri tushunilmaganda olib kelmaydinuqta yo'q. Ma’lum bo‘lishicha, hosila nafaqat funksiyaning o‘sish yoki kamayish tezligini, balki berilgan nuqtadagi funksiya grafigiga teginish qiyaligi tangensini ham ko‘rsatadi. Juda aniq ta'rif emas. Keling, buni batafsil tahlil qilaylik. Aytaylik, bizda funktsiyaning grafigi bor (qiziqish uchun egri chiziqni olaylik). Unda cheksiz sonli nuqtalar bor, lekin faqat bitta nuqta maksimal yoki minimal bo'lgan joylar mavjud. Har qanday bunday nuqta orqali funksiya grafigiga perpendikulyar bo'lgan chiziq chizish mumkin. Bunday chiziq tangens deb ataladi. Aytaylik, biz uni OX o'qi bilan kesishgan joyga sarfladik. Shunday qilib, tangens va OX o'qi o'rtasida olingan burchak hosila bilan aniqlanadi. Aniqrog'i, bu burchakning tangensi unga teng bo'ladi.
Xususiy holatlar haqida bir oz gaplashamiz va raqamlarning hosilalarini tahlil qilamiz.
Maxsus holatlar
Aytganimizdek, raqamlarning hosilalari ma'lum bir nuqtadagi hosilaning qiymatlari. Masalan, y=x2 funksiyasini olaylik. X hosilasi son va umumiy holatda 2x ga teng funktsiyadir. Agar biz hosilani hisoblashimiz kerak bo'lsa, deylik, x0=1 nuqtasida, u holda y'(1)=21=2 ni olamiz. Hammasi juda oddiy. Qiziqarli holat - bu murakkab sonning hosilasi. Biz murakkab son nima ekanligini batafsil tushuntirishga kirmaymiz. Aytaylik, bu xayoliy birlik deb ataladigan raqamni - kvadrati -1 bo'lgan sonni o'z ichiga oladi. Bunday lotinni hisoblash faqat quyidagi hollarda mumkinshartlar:
1) Y va X ga nisbatan haqiqiy va xayoliy qismlarning birinchi tartibli qisman hosilalari boʻlishi kerak.
2) Birinchi xatboshida tasvirlangan qisman hosilalarning tengligi bilan bogʻliq Koshi-Riman shartlari bajarilgan.
Yana bir qiziqarli holat, garchi oldingi holatdagidek murakkab boʻlmasa ham, manfiy sonning hosilasidir. Aslida, har qanday manfiy sonni -1 ga ko'paytirilgan musbat son sifatida ko'rsatish mumkin. Xo'sh, doimiy va funktsiyaning hosilasi doimiyning funktsiya hosilasiga ko'paytmasiga teng.
Tirivativning kundalik hayotdagi oʻrni haqida bilish qiziqarli boʻladi va biz buni hozir muhokama qilamiz.
Ilova
Ehtimol, har birimiz hayotida hech boʻlmaganda bir marta matematika unga foydali boʻlishi dargumon deb oʻylagandirmiz. Va lotin kabi murakkab narsa, ehtimol, umuman qo'llanilmaydi. Darhaqiqat, matematika fundamental fan bo'lib, uning barcha mevalari asosan fizika, kimyo, astronomiya va hatto iqtisodiyot tomonidan ishlab chiqilgan. Hosila matematik tahlilning boshlanishi edi, bu bizga funksiyalar grafiklaridan xulosa chiqarish qobiliyatini berdi va biz tabiat qonunlarini sharhlashni va uning tufayli ularni o'z foydamizga aylantirishni o'rgandik.
Xulosa
Albatta, real hayotda hosila hammaga ham kerak emas. Ammo matematika mantiqni rivojlantiradi, bu albatta kerak bo'ladi. Matematikani fanlar malikasi deb bejiz aytishmagan: u bilimning boshqa sohalarini tushunish uchun asos bo‘lib xizmat qiladi.
