"Cheksizlik" so'zida har bir insonning o'z uyushmalari bor. Ko'pchilik o'z tasavvurida ufqdan tashqariga chiqadigan dengizni chizadi, boshqalari esa ularning ko'z o'ngida cheksiz yulduzli osmon rasmini tortadi. Raqamlar bilan ishlashga odatlangan matematiklar cheksizlikni butunlay boshqacha tasavvur qilishadi. Ko'p asrlar davomida ular o'lchash uchun zarur bo'lgan jismoniy miqdorlarning eng kattasini topishga harakat qilishdi. Ulardan biri Graham raqamidir. Unda nechta nol bor va u nima uchun ishlatilishini ushbu maqola aytib beradi.
Cheksiz katta raqam
Matematikada bu shunday oʻzgaruvchining nomi x , agar har qanday berilgan M musbat son uchun N natural sonini koʻrsatish mumkin boʻlsa, barcha n dan katta sonlar uchun N dan katta boʻlsa. tengsizlik |x | > M. Biroq, yoʻq, masalan, Z butun sonini cheksiz katta deb hisoblash mumkin emas, chunki u har doim (Z + 1) dan kichik boʻladi.
"Gigantlar" haqida bir necha so'z
Jismoniy ma'noga ega bo'lgan eng katta raqamlar quyidagilar hisoblanadi:
- 1080. Odatda kvinquavigintilion deb ataladigan bu raqam koinotdagi kvark va leptonlarning (eng kichik zarrachalar) taxminiy sonini belgilash uchun ishlatiladi.
- 1 Google. O'nlik sanoq sistemasidagi bunday son 100 nolga ega bo'lgan birlik sifatida yoziladi. Ba'zi matematik modellarga ko'ra, katta portlash sodir bo'lgan paytdan boshlab eng katta qora tuynukning portlashigacha 1 yildan 1,5 gogol yil o'tishi kerak, shundan so'ng bizning koinotimiz o'z mavjudligining oxirgi bosqichiga o'tadi, ya'ni. bu raqam ma'lum bir jismoniy ma'noga ega deb hisoblang.
- 8, 5 x 10185. Plank doimiysi 1,616199 x 10-35 m, ya’ni o’nli kasrlarda 0,0000000000000000000000000000616199 m ko’rinadi. Bir dyuymda taxminan 1 googol Plank uzunligi mavjud. Taxminan 8,5 x 10185 Plank uzunligi butun koinotimizga mos kelishi mumkin.
- 277 232 917 – 1. Bu maʼlum boʻlgan eng katta tub son. Agar uning ikkilik yozuvi juda ixcham shaklga ega bo'lsa, uni o'nli shaklda tasvirlash uchun kamida 13 million belgi kerak bo'ladi. U 2017 yilda Mersenne raqamlarini qidirish loyihasi doirasida topilgan. Agar ishqibozlar ushbu yo'nalishda ishlashda davom etsalar, u holda kompyuter texnologiyalarining hozirgi rivojlanish darajasida, yaqin kelajakda ular Mersenna raqamini 277 232 917 dan kattaroq tartibni topa olishlari dargumon.- 1, garchi shundayBaxtli g'olib 150 000 AQSH dollarini oladi.
- Gugopleks. Bu erda biz faqat 1 ni olamiz va undan keyin 1 googol miqdorida nol qo'shamiz. Bu raqamni 10^10^100 deb yozishingiz mumkin. Uni o'nli kasr shaklida ifodalashning iloji yo'q, chunki agar koinotning butun maydoni qog'oz parchalari bilan to'ldirilgan bo'lsa, ularning har birida "Word" shrifti 10 o'lchamli 0 yozilsa, bu holda faqat yarmi googolplex raqami uchun 1 dan keyingi 0 ning hammasi olinadi.
- 10^10^10^10^10^1.1. Bu Puankare teoremasiga ko'ra, bizning koinotimiz tasodifiy kvant tebranishlari natijasida bugungi kunga yaqin holatga qaytayotgan yillar sonini ko'rsatadigan raqam.
Gremning raqamlari qanday paydo boʻlgan
1977 yilda taniqli ilm-fan ommabopchisi Martin Gardner Scientific American jurnalida Gremning Ramse nazariyasi muammolaridan birini isbotlashiga oid maqolasini chop etdi. Unda u olim tomonidan belgilangan chegarani jiddiy matematik mulohaza yuritishda foydalanilgan eng katta raqam deb atagan.
Ronald Lyuis Grem kim
80 yoshda boʻlgan olim Kaliforniyada tugʻilgan. 1962 yilda Berkli universitetida matematika fanlari nomzodi ilmiy darajasini oldi. U Bell Laboratoriyasida 37 yil ishlagan va keyinroq AT&T Labsga ko‘chib o‘tgan. Olim 20-asrning eng buyuk matematiklaridan biri Pal Erdos bilan faol hamkorlik qilgan va koʻplab nufuzli mukofotlar sovrindori hisoblanadi. Graham ilmiy bibliografiyasida 320 dan ortiq ilmiy maqolalar mavjud.
70-yillarning oʻrtalarida olimni nazariya bilan bogʻliq muammo qiziqtirgan. Remzi. Uning isbotida eritmaning yuqori chegarasi aniqlandi, bu juda katta raqam, keyinchalik Ronald Grem nomi bilan atalgan.
Hypercube muammosi
Grem raqamining mohiyatini tushunish uchun avval u qanday olinganini tushunishingiz kerak.
Olim va uning hamkasbi Bryus Rotshild quyidagi muammoni hal qilishdi:
N oʻlchovli giperkub mavjud. Uning barcha cho'qqi juftlari shunday bog'langanki, 2uchlari bo'lgan to'liq grafik olinadi. Uning har bir cheti ko'k yoki qizil rangga ega. Giperkubda boʻlishi kerak boʻlgan eng kam choʻqqilar sonini topish talab qilindi, shunda har bir rang bitta tekislikda joylashgan 4 ta choʻqqi bilan toʻliq monoxromatik subgrafni oʻz ichiga oladi.
Qaror
Grexem va Rotshild muammoning 6 ⩽ N' ⩽N shartini qanoatlantiradigan N' yechimi borligini isbotladilar, bunda N yaxshi aniqlangan, juda katta son.
N uchun pastki chegara keyinchalik boshqa olimlar tomonidan aniqlandi va ular N 13 dan katta yoki teng boʻlishi kerakligini isbotladilar. Shunday qilib, yuqorida keltirilgan shartlarga javob beradigan giperkubning eng kichik uchlari sonining ifodasi boʻldi. 13 ⩽ N'⩽ N.
Knutning oʻq belgisi
Grem raqamini belgilashdan oldin uning ramziy tasvirlash usuli bilan tanishib chiqishingiz kerak, chunki na oʻnlik, na ikkilik belgilar bunga mutlaqo mos kelmaydi.
Hozirda bu miqdorni ifodalash uchun Knut oʻq belgisi qoʻllaniladi. Unga ko'ra:
ab=a "yuqoriga strelka" b.
Koʻp darajali darajani koʻrsatish uchun quyidagi yozuv kiritildi:
a "yuqoriga strelka" "yuqoriga o'q" b=ab="b dona miqdorida a dan iborat minora."
Va pentatsiya uchun, ya'ni oldingi operatorning takroriy eksponentatsiyasining ramziy belgilanishi uchun Knut allaqachon 3 ta o'qdan foydalangan.
Grem raqami uchun ushbu belgidan foydalanib, bizda 64 dona miqdorida bir-biriga o'rnatilgan "o'q" ketma-ketliklari mavjud.
Oʻlchov
Tasavvurni hayajonga soladigan va inson ongining chegaralarini kengaytiradigan, uni koinot chegarasidan tashqariga olib chiqadigan mashhur soni Grem va uning hamkasblari uni giperkubni isbotlashda N sonining yuqori chegarasi sifatida olishgan. yuqorida keltirilgan muammo. Oddiy odam uchun uning miqyosi qanchalik katta ekanligini tasavvur qilish juda qiyin.
Belgilar soni yoki ba'zida yanglishib aytilishicha, Graham raqamidagi nollar haqidagi savol bu qiymat haqida birinchi marta eshitgan deyarli har bir kishini qiziqtiradi.
Biz 64 a'zodan iborat tez o'sib borayotgan ketma-ketlik bilan shug'ullanayotganimizni aytish kifoya. Hatto uning birinchi muddatini ham tasavvur qilib bo'lmaydi, chunki u 3 tadan iborat n ta "minora" dan iborat. Allaqachon uning 3 uchlik "pastki qavati" 7 625 597 484 987 ga teng, ya'ni 7 milliarddan oshadi, ya'ni 64-qavat haqida (a'zo emas!). Shunday qilib, hozirda Graham raqamini aniq aytish mumkin emas, chunki uni hisoblash uchun bu etarli emas. Bugungi kunda Yer yuzida mavjud bo'lgan barcha kompyuterlarning umumiy quvvati.
Rekord buzildimi?
Kruskal teoremasini isbotlash jarayonida Grexemning soni “poydadan tashlandi”. Olim quyidagi muammoni taklif qildi:
Cheklangan daraxtlarning cheksiz ketma-ketligi mavjud. Kruskal har doim qandaydir grafikning bir qismi borligini isbotladi, bu ham kattaroq grafikning bir qismi, ham uning aniq nusxasi. Bu bayonot hech qanday shubha tug'dirmaydi, chunki abadiylikda har doim aynan takrorlanuvchi kombinatsiya bo'lishi aniq
Keyinchalik Xarvi Fridman bu masalani faqat shunday asiklik grafiklarni (daraxtlarni) hisobga olib, biroz toraytirdiki, i koeffitsientli ma'lum bir uchun eng ko'p (i + k) cho'qqilar mavjud. U asiklik grafiklar soni qancha bo'lishi kerakligini aniqlashga qaror qildi, shunda ularning vazifasini bajarishning ushbu usuli bilan har doim boshqa daraxtga o'rnatilgan pastki daraxtni topish mumkin bo'ladi.
Bu masala boʻyicha olib borilgan izlanishlar natijasida N ning k ga bogʻliq holda juda katta tezlikda oʻsishi aniqlandi. Xususan, agar k=1 bo'lsa, u holda N=3. Biroq, k=2 da N allaqachon 11 ga etadi. Eng qizig'i, k=3 bo'lganda boshlanadi. Bu holda N tezlik bilan "ko'tariladi" va shunday qiymatga etadi. Graham sonidan ko'p marta katta. Uning qanchalik katta ekanligini tasavvur qilish uchun Ronald Grexem tomonidan hisoblangan raqamni G64 (3) shaklida yozish kifoya. Keyin Fridman-Kruskal qiymati (rev. FinKraskal(3)), G(G(187196)) tartibida bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, cheksiz kattaroq bo'lgan mega-qiymat olinaditasavvur qilib bo'lmaydigan darajada katta Graham soni. Shu bilan birga, hatto u cheksizlikdan ko'p marta kamroq bo'ladi. Bu tushuncha haqida batafsilroq gapirish mantiqan.
Infinity
Endi biz barmoqlardagi Graham raqami nima ekanligini tushuntirganimizdan so'ng, biz ushbu falsafiy kontseptsiyaga kiritilgan va qilinayotgan ma'noni tushunishimiz kerak. Axir, “cheksizlik” va “cheksiz katta son”ni ma’lum bir kontekstda bir xil deb hisoblash mumkin.
Bu masalani oʻrganishga eng katta hissa Aristotel tomonidan qoʻshilgan. Antik davrning buyuk mutafakkiri cheksizlikni potentsial va aktualga ajratgan. Ikkinchisi bilan u cheksiz narsalarning mavjudligi haqiqatini nazarda tutgan.
Aristotelga koʻra, bu fundamental tushuncha haqidagi gʻoyalar manbalari:
- vaqt;
- qiymatlarni ajratish;
- chegara tushunchasi va undan tashqarida nimadir mavjudligi;
- ijodiy tabiatning bitmas-tuganmasligi;
- cheklanmagan deb oʻylash.
Cheksizlikning zamonaviy talqinida siz miqdoriy oʻlchovni aniqlay olmaysiz, shuning uchun eng katta raqamni qidirish abadiy davom etishi mumkin.
Xulosa
"Cheksizlikka qarash" metaforasi va Grem raqamini qaysidir ma'noda sinonim deb hisoblash mumkinmi? Aksincha ha va yo'q. Ikkalasini ham, hatto eng kuchli tasavvur bilan ham tasavvur qilib bo'lmaydi. Biroq, yuqorida aytib o'tilganidek, uni "eng, eng ko'p" deb hisoblash mumkin emas. Yana bir narsa shundaki, hozirgi vaqtda Graham raqamidan kattaroq qiymatlar o'rnatilgan emasjismoniy hissiyot.
Bundan tashqari, u cheksizsonning xususiyatlariga ega emas, masalan:
- ∞ + 1=∞;
- toq va juft sonlarning cheksiz soni bor;
- ∞ - 1=∞;
- toq raqamlar soni barcha raqamlarning aynan yarmi;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
Xulosa qilib aytadigan bo'lsak: Ginnesning rekordlar kitobiga ko'ra, Grahamning soni matematik isbotlash amaliyotidagi eng katta raqamdir. Biroq, bu qiymatdan bir necha baravar katta raqamlar mavjud.
Kelajakda yanada kattaroq "gigantlar"ga ehtiyoj paydo boʻlishi mumkin, ayniqsa, agar inson bizning quyosh sistemamizdan tashqariga chiqsa yoki hozirgi ongimiz darajasida tasavvur qilib boʻlmaydigan narsani ixtiro qilsa.
