Matematika fanidan daraja tushunchasi 7-sinfda algebra darsida kiritilgan. Kelajakda matematikani o'rganish davomida bu tushuncha turli xil ko'rinishlarda faol qo'llaniladi. Darajalar - bu juda qiyin mavzu bo'lib, u qadriyatlarni yodlashni va to'g'ri va tez hisoblash qobiliyatini talab qiladi. Matematik darajalar bilan tezroq va yaxshiroq ishlash uchun ular darajaning xususiyatlarini o'ylab topdilar. Ular katta hisob-kitoblarni qisqartirishga, ulkan misolni ma'lum darajada yagona raqamga aylantirishga yordam beradi. Xususiyatlari unchalik ko'p emas va ularning barchasini eslab qolish va amalda qo'llash oson. Shuning uchun maqolada darajaning asosiy xususiyatlari va ular qayerda qo'llanilishi muhokama qilinadi.
Daraj xususiyatlari
Biz darajalarning 12 ta xossasini, shu jumladan bir xil asoslarga ega boʻlgan darajalarning xossalarini koʻrib chiqamiz va har bir xususiyatga misol keltiramiz. Bu xususiyatlarning har biri darajalar bilan bog‘liq muammolarni tezroq hal qilishga yordam beradi hamda sizni ko‘plab hisoblash xatolaridan qutqaradi.
1-chi xususiyat.
a0=1
Koʻpchilik bu xususiyatni unutib qoʻyadinol darajasidagi raqamni nol sifatida ifodalash orqali xatolar.
2-chi xususiyat.
a1=a
3-chi xususiyat.
a am=a(n+m)
Bu xususiyatdan faqat raqamlarni ko'paytirishda foydalanish mumkinligini yodda tutishingiz kerak, u yig'indi bilan ishlamaydi! Shuni unutmangki, bu va quyidagi xususiyatlar faqat bir xil bazaga ega quvvatlarga tegishli.
4-xususiyat.
a/am=a(n-m)
Agar maxrajdagi son manfiy darajaga koʻtarilsa, ayirishda keyingi hisob-kitoblarda belgini toʻgʻri almashtirish uchun maxraj darajasi qavs ichida olinadi.
Xususiyat faqat boʻlish uchun ishlaydi, ayirish uchun emas!
5-chi xususiyat.
(a)m=a(nm)
6-xususiyat.
a-n=1/a
Bu xususiyat teskari yoʻnalishda ham qoʻllanilishi mumkin. Raqamga ma'lum darajada bo'lingan birlik, bu raqam manfiy darajadir.
7-chi xususiyat.
(ab)m=am bm
Bu xususiyatni yigʻindi va farqga qoʻllash mumkin emas! Yig'indi yoki ayirmani darajaga ko'tarishda kuchning xususiyatlari emas, qisqartirilgan ko'paytirish formulalari ishlatiladi.
8-chi mulk.
(a/b)=a/b
9-chi xususiyat.
a½=√a
Bu xususiyat hisobi birga teng boʻlgan har qanday kasr daraja uchun ishlaydi,formula bir xil bo'ladi, faqat ildiz darajasi daraja maxrajiga qarab o'zgaradi.
Shuningdek, bu xususiyat ko'pincha teskari holatda ishlatiladi. Raqamning har qanday darajasining ildizi bu raqamning ildiz kuchiga bo'lingan birining kuchiga ko'rinishida ifodalanishi mumkin. Bu xususiyat raqamning ildizi chiqarilmagan hollarda juda foydali.
10-chi xususiyat.
(√a)2=a
Bu xususiyat faqat kvadrat ildizlar va ikkinchi darajalar bilan ishlamaydi. Agar ildiz darajasi va bu ildizning ko'tarilish darajasi bir xil bo'lsa, javob radikal ifoda bo'ladi.
11-xususiyat.
√a=a
Oʻzingizni katta hisob-kitoblardan qutqarish uchun hal qilishda ushbu xususiyatni oʻz vaqtida koʻrishingiz kerak.
12-joy.
am/n=√am
Ushbu xususiyatlarning har biri sizni vazifalarda bir necha marta uchratadi, u sof shaklda berilishi yoki ba'zi o'zgarishlar va boshqa formulalardan foydalanishni talab qilishi mumkin. Shuning uchun, to'g'ri yechim uchun faqat xususiyatlarni bilishning o'zi etarli emas, qolgan matematik bilimlarni mashq qilish va bog'lash kerak.
Darajalar va ularning xususiyatlaridan foydalanish
Ular algebra va geometriyada faol foydalaniladi. Matematika bo'yicha darajalar alohida, muhim o'rin tutadi. Ularning yordami bilan eksponensial tenglamalar va tengsizliklar echiladi, shuningdek, kuchlar ko'pincha matematikaning boshqa bo'limlari bilan bog'liq tenglamalar va misollarni murakkablashtiradi. Ko'rsatkichlar katta va uzoq hisoblardan qochishga yordam beradi, ko'rsatkichlarni kamaytirish va hisoblash osonroq. Lekin uchunkatta kuchlar bilan yoki katta sonli kuchlar bilan ishlashda siz nafaqat darajaning xususiyatlarini bilishingiz, balki bazalar bilan malakali ishlashingiz, vazifangizni osonlashtirish uchun ularni parchalay olishingiz kerak. Qulaylik uchun siz kuchga ko'tarilgan raqamlarning ma'nosini ham bilishingiz kerak. Bu uzoq hisob-kitoblarga bo‘lgan ehtiyojni bartaraf etish orqali hal qilish uchun vaqtingizni qisqartiradi.
Daraja tushunchasi logarifmlarda alohida o’rin tutadi. Chunki logarifm, mohiyatan, sonning kuchidir.
Kichik koʻpaytirish formulalari quvvatlardan foydalanishning yana bir misolidir. Ular darajalarning xususiyatlaridan foydalana olmaydilar, ular maxsus qoidalarga muvofiq parchalanadi, lekin har bir qisqartirilgan ko'paytirish formulasida o'zgarmas darajada darajalar mavjud.
Darajlar fizika va informatika fanlarida ham faol qoʻllaniladi. SI tizimidagi barcha tarjimalar darajalar yordamida amalga oshiriladi va kelajakda muammolarni hal qilishda darajaning xususiyatlari qo'llaniladi. Informatika fanida raqamlarni hisoblash va idrok etishni soddalashtirish uchun ikkita kuch faol qo'llaniladi. O'lchov birliklarini konvertatsiya qilish yoki masalalarni hisoblash bo'yicha keyingi hisoblar, xuddi fizikadagi kabi, daraja xususiyatlaridan foydalangan holda amalga oshiriladi.
Darajalar astronomiyada ham juda foydali boʻlib, unda siz daraja xususiyatlaridan foydalanishni kamdan-kam koʻrasiz, lekin darajalarning oʻzi turli miqdor va masofalarni yozib olishni qisqartirish uchun faol foydalaniladi.
Darajalar kundalik hayotda maydonlar, hajmlar, masofalarni hisoblashda ham qoʻllaniladi.
Darajlar yordamida fanning istalgan sohasida juda katta va juda kichik miqdorlar yoziladi.
Eksponensial tenglamalar va tengsizliklar
Daraja xossalari aniq koʻrsatkichli tenglamalar va tengsizliklarda alohida oʻrin tutadi. Bu vazifalar maktab kursida ham, imtihonlarda ham juda keng tarqalgan. Ularning barchasi daraja xususiyatlarini qo'llash orqali hal qilinadi. Noma'lum narsa har doim darajaning o'zida bo'ladi, shuning uchun barcha xususiyatlarni bilgan holda, bunday tenglama yoki tengsizlikni echish qiyin bo'lmaydi.
