Tekliklarning parallelligi va perpendikulyarligini aniqlash, shuningdek, bu geometrik jismlar orasidagi masofalarni hisoblash uchun u yoki bu turdagi sonli funksiyalardan foydalanish qulay. Qanday masalalar uchun tekislik tenglamasidan segmentlarda foydalanish qulay? Ushbu maqolada biz bu nima ekanligini va undan amaliy vazifalarda qanday foydalanishni ko'rib chiqamiz.
Toʻgʻri segmentlardagi tenglama nima?
Samolyotni 3D fazoda bir necha usul bilan aniqlash mumkin. Ushbu maqolada ularning ba'zilari har xil turdagi muammolarni hal qilishda beriladi. Bu erda biz tekislik segmentlarida tenglamaning batafsil tavsifini beramiz. U odatda quyidagi shaklga ega:
x/p + y/q + z/r=1.
Bu erda p, q, r belgilari ba'zi aniq raqamlarni bildiradi. Bu tenglamani umumiy ifodaga va tekislik uchun raqamli funktsiyalarning boshqa shakllariga osongina tarjima qilish mumkin.
Tenglamani segmentlarda yozishning qulayligi shundaki, unda tekislikning perpendikulyar koordinata o’qlari bilan kesishuvining aniq koordinatalari mavjud. X o'qi bo'yichaboshiga nisbatan tekislik p uzunlikdagi, y o'qi bo'yicha - q ga teng, z bo'yicha - r uzunlikdagi segmentni kesib tashlaydi.
Agar uchta oʻzgaruvchidan birortasi tenglamada boʻlmasa, bu tekislik mos keladigan oʻqdan oʻtmasligini bildiradi (matematiklarning aytishicha, u cheksizlikda kesib oʻtadi).
Keyin, bu tenglama bilan qanday ishlashni koʻrsatuvchi baʼzi muammolar.
Umumiy va tenglamalar segmentlaridagi aloqa
Ma'lumki, tekislik quyidagi tenglik bilan berilgan:
2x - 3y + z - 6=0.
Bu tekislikning umumiy tenglamasini segmentlarda yozish kerak.
Shunga o'xshash muammo yuzaga kelganda, siz ushbu texnikaga amal qilishingiz kerak: biz bepul atamani tenglikning o'ng tomoniga o'tkazamiz. Keyin biz barcha tenglamani ushbu atama bilan ajratamiz, uni avvalgi xatboshida berilgan shaklda ifodalashga harakat qilamiz. Bizda:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Biz segmentlarda dastlab umumiy shaklda berilgan tekislik tenglamasini oldik. Ko'rinib turibdiki, tekislik x, y va z o'qlari uchun mos ravishda 3, 2 va 6 uzunlikdagi segmentlarni kesib tashlaydi. Y o'qi tekislikni manfiy koordinatalar sohasida kesib o'tadi.
Segmentlar boʻyicha tenglama tuzishda barcha oʻzgaruvchilar oldiga “+” belgisi qoʻyilishi muhim. Faqat bu holatda, bu o'zgaruvchi bo'linadigan raqam o'qda kesilgan koordinatani ko'rsatadi.
Oddiy vektor va tekislikdagi nuqta
Ma'lumki, ba'zi tekisliklar yo'nalish vektoriga ega (3; 0; -1). (1; 1; 1) nuqtadan o'tishi ham ma'lum. Bu tekislik uchun segmentlarda tenglama yozing.
Bu muammoni hal qilish uchun avval ushbu ikki oʻlchamli geometrik obʼyekt uchun umumiy shakldan foydalanish kerak. Umumiy shakl quyidagicha yoziladi:
Ax + By + Cz + D=0.
Bu yerdagi dastlabki uchta koeffitsient muammo bayonida koʻrsatilgan yoʻn altiruvchi vektorning koordinatalari, yaʼni:
A=3;
B=0;
C=-1.
Erkin D atamasini topish qoladi. Uni quyidagi formula bilan aniqlash mumkin:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Bu erda indeks 1 bo'lgan koordinata qiymatlari tekislikka tegishli nuqta koordinatalariga mos keladi. Biz ularning qiymatlarini muammoning sharti bilan almashtiramiz, biz olamiz:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Endi siz toʻliq tenglamani yozishingiz mumkin:
3x - z - 2=0.
Ushbu ifodani tekislik segmentlarida tenglamaga aylantirish texnikasi yuqorida koʻrsatilgan. Qo'llash:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Muammoga javob olindi. E'tibor bering, bu tekislik faqat x va z o'qlarini kesib o'tadi. y uchun u parallel.
Teklikni belgilovchi ikkita toʻgʻri chiziq
Fazal geometriya kursidan har bir talaba ikki ixtiyoriy chiziq tekislikni aniq belgilashini biladi.uch o'lchovli fazo. Keling, shunga o'xshash muammoni hal qilaylik.
Ikkita chiziq tenglamasi ma'lum:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + a(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + b(-1; 0; 1).
Teklik tenglamasini shu chiziqlardan oʻtuvchi segmentlarga yozish kerak.
Har ikkala chiziq tekislikda yotishi kerakligi sababli, bu ularning vektorlari (yoʻriqnomalari) tekislik vektoriga (yoʻriqnomasiga) perpendikulyar boʻlishi kerakligini bildiradi. Shu bilan birga, ma'lumki, ixtiyoriy ikkita yo'n altirilgan segmentlarning vektor ko'paytmasi ikkita asl qismga perpendikulyar bo'lgan uchinchi koordinatalar ko'rinishida natija beradi. Ushbu xususiyatni hisobga olgan holda, biz kerakli tekislikka normal vektorning koordinatalarini olamiz:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Uni ixtiyoriy songa ko'paytirish mumkin bo'lganligi sababli, bu asl qismga parallel ravishda yangi yo'n altirilgan segmentni hosil qiladi, biz olingan koordinatalar belgisini teskarisiga almashtirishimiz mumkin (-1 ga ko'paytiramiz), biz olamiz:
(1; 2; 1).
Biz yoʻnalish vektorini bilamiz. To'g'ri chiziqlardan birining ixtiyoriy nuqtasini olish va tekislikning umumiy tenglamasini tuzish qoladi:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Ushbu tenglikni segmentlardagi ifodaga aylantirsak, biz quyidagilarni olamiz:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Shunday qilib, tekislik koordinata tizimining musbat mintaqasidagi barcha uch oʻqni kesib oʻtadi.
Uch nuqta va samolyot
Ikki toʻgʻri chiziq singari, uch nuqta uch oʻlchamli fazoda tekislikni yagona aniqlaydi. Agar tekislikda yotgan nuqtalarning quyidagi koordinatalari ma'lum bo'lsa, tegishli tenglamani segmentlarga yozamiz:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Keling, quyidagilarni bajaramiz: bu nuqtalarni bog'laydigan ikkita ixtiyoriy vektorning koordinatalarini hisoblang, so'ngra topilgan yo'n altirilgan segmentlarning ko'paytmasini hisoblab, tekislikka normal n¯ vektorini toping. Biz olamiz:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
P nuqtani misol qilib oling, tekislik tenglamasini tuzing:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 yoki z=0.
Biz berilgan toʻrtburchaklar koordinatalar sistemasidagi xy tekisligiga mos keladigan oddiy ifodani oldik. Uni segmentlarga yozib bo‘lmaydi, chunki x va y o‘qlari tekislikka tegishli, z o‘qida kesilgan segment uzunligi esa nolga teng (nuqta (0; 0; 0) tekislikka tegishli).
