Fazli figuralar hajmini hisoblash qobiliyati geometriyadan bir qator amaliy masalalarni yechishda muhim ahamiyatga ega. Eng keng tarqalgan shakllardan biri piramidadir. Ushbu maqolada biz piramida hajmining toʻliq va qisqartirilgan formulalarini koʻrib chiqamiz.
Piramida uch oʻlchamli shakl sifatida
Hamma Misr piramidalari haqida biladi, shuning uchun ular qaysi raqam muhokama qilinishi haqida yaxshi tasavvurga ega. Biroq, Misrning tosh konstruksiyalari piramidalarning ulkan sinfining alohida holatidir.
Umumiy holatda koʻrib chiqilayotgan geometrik obʼyekt koʻpburchak asos boʻlib, uning har bir uchi fazoning asos tekisligiga tegishli boʻlmagan qaysidir nuqtasi bilan bogʻlangan. Bu taʼrif bitta n-burchak va n ta uchburchakdan iborat raqamga olib keladi.
Har qanday piramida n+1 yuz, 2n chekka va n+1 cho’qqidan iborat. Ko'rib chiqilayotgan rasm mukammal ko'pburchak bo'lganligi sababli, belgilangan elementlarning soni Eyler tengligiga bo'ysunadi:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
Poyida joylashgan ko’pburchak piramida nomini beradi,masalan, uchburchak, beshburchak va boshqalar. Turli asosli piramidalar to‘plami quyidagi rasmda ko‘rsatilgan.
Rasmning n ta uchburchaklari tutashgan nuqtaga piramidaning tepasi deyiladi. Agar undan asosga perpendikulyar tushirilsa va u uni geometrik markazda kesib o'tsa, unda bunday raqam to'g'ri chiziq deb ataladi. Agar bu shart bajarilmasa, unda eğimli piramida mavjud.
Asosi teng tomonli (teng burchakli) n-burchakdan tashkil topgan toʻgʻri figuraga muntazam deyiladi.
Piramida hajm formulasi
Piramida hajmini hisoblash uchun biz integral hisobdan foydalanamiz. Buning uchun biz raqamni asosga parallel ravishda cheksiz miqdordagi nozik qatlamlarga ajratamiz. Quyidagi rasmda balandligi h va yon uzunligi L bo'lgan to'rtburchakli piramida ko'rsatilgan, unda nozik bir qatlam to'rtburchak bilan belgilangan.
Bunday qatlamning maydonini quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Bu yerda A0 - bazaning maydoni, z - vertikal koordinataning qiymati. Ko'rinib turibdiki, agar z=0 bo'lsa, formula A0 qiymatini beradi.
Piramida hajmining formulasini olish uchun siz rasmning butun balandligi bo'yicha integralni hisoblashingiz kerak, ya'ni:
V=∫h0(A(z)dz).
A(z) qaramligini almashtirib, antiderivativni hisoblab, quyidagi ifodaga kelamiz:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
Biz piramida hajmining formulasini oldik. V qiymatini topish uchun raqamning balandligini asos maydoniga ko'paytirish va natijani uchga bo'lish kifoya.
E'tibor bering, olingan ifoda ixtiyoriy turdagi piramida hajmini hisoblash uchun amal qiladi. Ya'ni, u moyil bo'lishi mumkin va uning asosi ixtiyoriy n-gon bo'lishi mumkin.
Toʻgʻri piramida va uning hajmi
Yuqoridagi paragrafda olingan hajmning umumiy formulasi asosi toʻgʻri boʻlgan piramida holatida aniqlanishi mumkin. Bunday bazaning maydoni quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Bu erda L - n ta uchli muntazam ko'pburchakning yon uzunligi. Pi belgisi - pi soni.
A0 ifodasini umumiy formulaga almashtirsak, oddiy piramida hajmini olamiz:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Masalan, uchburchakli piramida uchun bu formula quyidagi ifodaga olib keladi:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
Muntazam toʻrtburchakli piramida uchun hajm formulasi quyidagicha boʻladi:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2soat.
Muntazam piramidalar hajmini aniqlash uchun ularning poydevori tomoni va figuraning balandligini bilish kerak.
Kesilgan piramida
Biz oldik deylikixtiyoriy piramida va uning yuqori qismini o'z ichiga olgan lateral yuzasining bir qismini kesib tashlang. Qolgan raqam kesilgan piramida deb ataladi. U allaqachon ikkita n-gonal asosdan va ularni bog'laydigan n trapetsiyadan iborat. Agar kesish tekisligi rasmning asosiga parallel bo'lsa, u holda parallel o'xshash asoslar bilan kesilgan piramida hosil bo'ladi. Ya'ni, ulardan birining tomonlarining uzunliklarini ikkinchisining uzunliklarini qandaydir k koeffitsientiga ko'paytirish orqali olish mumkin.
Yuqoridagi rasmda kesilgan muntazam olti burchakli piramida koʻrsatilgan. Ko'rinib turibdiki, uning ustki asosi, xuddi pastki qismi kabi, muntazam olti burchakli burchakdan tashkil topgan.
Kesilgan piramida hajmining formulasi berilganga oʻxshash integral hisob yordamida chiqarilishi mumkin:
V=1/3h(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Bu yerda A0 va A1 mos ravishda pastki (katta) va yuqori (kichik) asoslarning maydonlari. h o'zgaruvchisi kesilgan piramidaning balandligi.
Xeops piramidasining hajmi
Eng katta Misr piramidasi ichidagi hajmni aniqlash masalasini hal qilish qiziq.
1984 yilda britaniyalik Misrshunoslar Mark Lehner va Jon Gudman Xeops piramidasining aniq o'lchamlarini o'rnatdilar. Uning dastlabki balandligi 146,50 metr (hozirda taxminan 137 metr) edi. Qurilishning to'rt tomonining har birining o'rtacha uzunligi 230,363 metrni tashkil etdi. Piramidaning asosi yuqori aniqlikda kvadrat shaklida.
Keling, ushbu tosh gigantning hajmini aniqlash uchun berilgan raqamlardan foydalanamiz. Piramida oddiy to'rtburchak bo'lganligi sababli, u uchun formula to'g'ri keladi:
V4=1/3L2h.
Raqamlarni almashtiring, biz olamiz:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Xeops piramidasining hajmi deyarli 2,6 million m3. Taqqoslash uchun shuni ta'kidlaymizki, Olimpiya hovuzining hajmi 2,5 ming m3. Ya'ni, butun Cheops piramidasini to'ldirish uchun 1000 dan ortiq hovuzlar kerak bo'ladi!
