Ko'p odamlar uchun matematik tahlil haqiqiy hayotdan uzoq bo'lgan tushunarsiz raqamlar, piktogrammalar va ta'riflar to'plamidir. Biroq, biz mavjud bo'lgan dunyo raqamli naqshlar asosida qurilgan bo'lib, ularni aniqlash nafaqat atrofimizdagi dunyoni o'rganish va uning murakkab muammolarini hal qilish, balki kundalik amaliy vazifalarni soddalashtirishga yordam beradi. Matematik sonlar ketma-ketligi yaqinlashadi deganda nimani nazarda tutadi? Buni batafsil muhokama qilish kerak.
Cheksiz kichik nima?
Keling, bir-biriga mos keladigan matryoshkalarni tasavvur qilaylik. Ularning eng kattasidan boshlanib, eng kichigi bilan tugaydigan raqamlar shaklida yozilgan o'lchamlari ketma-ketlikni tashkil qiladi. Agar siz bunday yorqin raqamlarning cheksiz sonini tasavvur qilsangiz, natijada paydo bo'lgan qator hayoliy uzun bo'ladi. Bu konvergent sonlar ketma-ketligi. Va u nolga intiladi, chunki har bir keyingi uyali qo'g'irchoqning kattaligi halokatli darajada kamayib, asta-sekin hech narsaga aylanadi. Demak, bu osontushuntirish mumkin: cheksiz kichik nima.
Shunga o'xshash misol masofaga olib boradigan yo'l bo'lishi mumkin. Va uning bo'ylab kuzatuvchidan uzoqlashayotgan mashinaning vizual o'lchamlari asta-sekin kichrayib, nuqtaga o'xshash shaklsiz dog'ga aylanadi. Shunday qilib, mashina, xuddi ob'ekt kabi, noma'lum yo'nalishda uzoqlashib, cheksiz kichik bo'ladi. Belgilangan tananing parametrlari hech qachon so'zning to'g'ridan-to'g'ri ma'nosida nolga teng bo'lmaydi, lekin oxirgi chegarada har doim bu qiymatga moyil bo'ladi. Shunday qilib, bu ketma-ketlik yana nolga yaqinlashadi.
Hammasini tomchilab hisoblang
Keling, dunyoviy vaziyatni tasavvur qilaylik. Shifokor bemorga dori-darmonlarni qabul qilishni buyurdi, kuniga o'n tomchidan boshlab, har kuni ikki tomchi qo'shing. Shunday qilib, shifokor hajmi 190 tomchi bo'lgan dori flakonining tarkibi tugaguncha davom etishni taklif qildi. Yuqoridagilardan ko'rinib turibdiki, kun bo'yicha rejalashtirilgan bundaylar soni quyidagi raqamlar qatoridan iborat bo'ladi: 10, 12, 14 va hokazo.
To'liq kursni yakunlash vaqtini va ketma-ketlik a'zolari sonini qanday aniqlash mumkin? Bu erda, albatta, tomchilarni primitiv tarzda sanash mumkin. Ammo naqshni hisobga olgan holda, d=2 qadamli arifmetik progressiya yig'indisi formulasini qo'llash ancha osondir. Va bu usuldan foydalanib, raqamlar qatorining a'zolari soni 10 ekanligini aniqlang. Bu holda., a10=28. Jinsiy olat raqami dori qabul qilingan kunlar sonini, 28 esa bemor qabul qilishi kerak bo'lgan tomchilar soniga to'g'ri keladi.oxirgi kuni foydalaning. Bu ketma-ketlik birlashadimi? Yo‘q, chunki pastdan 10 ta va yuqoridan 28 ta bilan chegaralangan bo‘lishiga qaramay, oldingi misollardan farqli o‘laroq, bunday raqamlar qatorining chegarasi yo‘q.
Farqi nima?
Endi aniqlik kiritishga harakat qilaylik: raqamlar qatori konvergent ketma-ketlikka aylanganda. Ushbu turdagi ta'rif, yuqoridagilardan xulosa qilish mumkinki, cheklangan chegara tushunchasi bilan bevosita bog'liq bo'lib, uning mavjudligi masalaning mohiyatini ochib beradi. Xo'sh, ilgari berilgan misollar o'rtasidagi tub farq nima? Va nima uchun ularning oxirgisida 28 raqamini X =10 + 2(n-1) sonlar seriyasining chegarasi deb hisoblash mumkin emas?
Bu savolga aniqlik kiritish uchun quyidagi formula boʻyicha berilgan boshqa ketma-ketlikni koʻrib chiqing, bu yerda n natural sonlar toʻplamiga tegishli.
Bu a'zolar hamjamiyati umumiy kasrlar to'plami bo'lib, ularning soni 1 ga teng va maxraji doimiy ravishda o'sib boradi: 1, ½ …
Bundan tashqari, bu qatorning har bir keyingi vakili raqamlar chizigʻidagi joylashuvi boʻyicha 0 ga tobora koʻproq yaqinlashadi. Bu esa nuqtalar nol atrofida toʻplangan joyda shunday qoʻshnilik paydo boʻlishini anglatadi, bu chegara hisoblanadi. Va ular unga qanchalik yaqin bo'lsa, ularning son chizig'idagi kontsentratsiyasi shunchalik zichroq bo'ladi. Va ular orasidagi masofa halokatli darajada qisqaradi va cheksiz kichik masofaga aylanadi. Bu ketma-ketlik yaqinlashayotganining belgisidir.
OʻxshashShunday qilib, rasmda ko'rsatilgan ko'p rangli to'rtburchaklar kosmosdan uzoqlashganda vizual ravishda ko'proq gavjum bo'lib, faraziy chegarada ahamiyatsiz bo'lib qoladi.
Cheksiz katta ketma-ketliklar
Konvergent ketma-ketlikning ta'rifini tahlil qilib, qarshi misollarga o'tamiz. Ularning ko'pchiligi insoniyatga qadim zamonlardan beri ma'lum. Divergent ketma-ketlikning eng oddiy variantlari natural va juft sonlar qatoridir. Ular boshqa yo'l bilan cheksiz katta deb ataladi, chunki ularning a'zolari doimiy ravishda ko'payib, ijobiy cheksizlikka tobora yaqinlashmoqda.
Bundaylarga qadami va maxraji mos ravishda noldan katta boʻlgan har qanday arifmetik va geometrik progressiyalar ham misol boʻlishi mumkin. Bundan tashqari, sonli qatorlar divergent ketma-ketliklar hisoblanadi, ularning chegarasi umuman yo'q. Masalan, X =(-2) -1.
Fibonachchi ketma-ketligi
Yuqorida tilga olingan raqamlar seriyasining insoniyat uchun amaliy foydalari shubhasizdir. Ammo boshqa ajoyib misollar son-sanoqsiz. Ulardan biri Fibonachchi ketma-ketligidir. Uning bittadan boshlanadigan har bir a'zosi oldingilarining yig'indisidir. Uning birinchi ikki vakili 1 va 1. Uchinchisi 1+1=2, to‘rtinchisi 1+2=3, beshinchisi 2+3=5. Bundan tashqari, xuddi shu mantiqqa ko'ra, 8, 13, 21 va hokazo raqamlar keladi.
Bu raqamlar qatori cheksiz ortadi va hech qanday raqamga ega emasyakuniy chegara. Ammo uning yana bir ajoyib xususiyati bor. Har bir oldingi sonning keyingisiga nisbati o'z qiymati bo'yicha 0,618 ga yaqinlashib bormoqda. Bu yerda siz konvergent va divergent ketma-ketlik o'rtasidagi farqni tushunishingiz mumkin, chunki agar siz bir qator qabul qilingan qisman bo'linishlarni qilsangiz, ko'rsatilgan sonlar tizimi 0,618 ga teng chekli chegaraga ega.
Fibonachchi nisbatlari ketma-ketligi
Yuqorida koʻrsatilgan raqamlar seriyasi bozorlarni texnik tahlil qilishda amaliy maqsadlarda keng qoʻllaniladi. Ammo bu misrliklar va yunonlar qadimda bilgan va amalda qo'llashga muvaffaq bo'lgan uning imkoniyatlari bilan chegaralanib qolmaydi. Buni ular qurgan piramidalar va Parfenon tasdiqlaydi. Axir, 0,618 raqami eski kunlarda yaxshi ma'lum bo'lgan oltin qismning doimiy koeffitsientidir. Ushbu qoidaga ko'ra, har qanday ixtiyoriy segmentni uning qismlari orasidagi nisbat segmentlarning eng kattasi va umumiy uzunlik o'rtasidagi nisbatga to'g'ri keladigan tarzda bo'linishi mumkin.
Keling, koʻrsatilgan munosabatlar qatorini tuzamiz va bu ketma-ketlikni tahlil qilishga harakat qilamiz. Raqamlar qatori quyidagicha bo'ladi: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 va boshqalar. Shu tarzda davom ettirsak, konvergent ketma-ketlikning chegarasi haqiqatdan ham 0,618 bo'lishiga ishonch hosil qilishimiz mumkin. Lekin bu qonuniyatning boshqa xossalarini ham qayd etish lozim. Bu erda raqamlar tasodifiy ketayotganga o'xshaydi, lekin o'sish yoki kamayish tartibida emas. Bu shuni anglatadiki, bu konvergent ketma-ketlik monoton emas. Nega bunday bo'lgani batafsil muhokama qilinadi.
Monotonlik va cheklov
Raqamlar seriyasi a'zolari soni ortishi bilan aniq kamayishi mumkin (agar x1>x2>x3>…>x >…) yoki oshirish (agar x1<x21x63223<…<x <…). Bunday holda, ketma-ketlik qat'iy monotonik deyiladi. Raqamli qatorlar kamaymaydigan va ko'paymaydigan bo'lgan boshqa naqshlarni ham kuzatish mumkin (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… yoki x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), keyin ketma-ket konvergent ham monotonik bo'ladi, faqat qat'iy ma'noda emas. Bu variantlardan birinchisiga yaxshi misol quyidagi formula orqali berilgan raqamlar qatoridir.
Ushbu seriyaning raqamlarini chizib, uning a'zolaridan hech biri cheksiz ravishda 1 ga yaqinlashib, bu qiymatdan hech qachon oshib ketmasligini ko'rishingiz mumkin. Bunda konvergent ketma-ketlik chegaralangan deyiladi. Bu har doim seriya modulining har qanday shartlaridan katta bo'lgan M musbat soni mavjud bo'lganda sodir bo'ladi. Agar raqamlar qatori monotonlik belgilariga ega bo'lsa va chegaraga ega bo'lsa va shuning uchun birlashsa, u majburiy ravishda shunday xususiyatga ega bo'ladi. Va buning aksi to'g'ri bo'lishi shart emas. Buni konvergent ketma-ketlik uchun chegaralanganlik teoremasi tasdiqlaydi.
Bunday kuzatishlarni amalda qoʻllash juda foydali. X =ketma-ketligining xossalarini tekshirib, aniq misol keltiramiz.n/n+1, va uning yaqinlashuvini isbotlang. Bu monoton ekanligini ko'rsatish oson, chunki (x +1 – x) ijobiy raqam har qanday n qiymat uchun. Ketma-ketlik chegarasi 1 raqamiga teng, ya'ni Veyershtass teoremasi deb ham ataladigan yuqoridagi teoremaning barcha shartlari bajariladi. Konvergent ketma-ketlikning chegaralanganligi haqidagi teorema shuni ko'rsatadiki, agar uning chegarasi bo'lsa, har qanday holatda ham u chegaralangan bo'lib chiqadi. Biroq, keling, quyidagi misolni olaylik. X =(-1) raqamlar qatori pastdan -1 va yuqoridan 1 bilan chegaralangan. Lekin bu ketma-ketlik monotonik emas, hech qanday raqamga ega emas. chegaralaydi va shuning uchun birlashmaydi. Ya'ni chegaraning mavjudligi va yaqinlashuv har doim ham cheklanishdan kelib chiqavermaydi. Buning ishlashi uchun Fibonachchi nisbatlaridagi kabi pastki va yuqori chegaralar mos kelishi kerak.
Olam raqamlari va qonunlari
Konvergent va divergent ketma-ketlikning eng oddiy variantlari X =n va X =1/n sonli qatorlardir. Ulardan birinchisi sonlarning natural qatoridir. Bu, yuqorida aytib o'tilganidek, cheksiz katta. Ikkinchi konvergent ketma-ketlik chegaralangan va uning hadlari kattaligi bo'yicha cheksiz kichikga yaqin. Ushbu formulalarning har biri ko'p qirrali olamning tomonlaridan birini ifodalaydi va odamga raqamlar va belgilar tilida idrok etib bo'lmaydigan, noma'lum narsani tasavvur qilish va hisoblashda yordam beradi.
Olam qonunlari arzimasdan aql bovar qilmaydigan darajada kattagacha boʻlgan 0,618 oltin nisbatni ham ifodalaydi. Olimlaru narsalarning mohiyatining asosi va uning qismlarini tashkil qilish uchun tabiat tomonidan qo'llaniladi, deb hisoblaydilar. Biz yuqorida aytib o'tgan Fibonachchi seriyasining keyingi va oldingi a'zolari o'rtasidagi munosabatlar ushbu noyob seriyaning ajoyib xususiyatlarini namoyish qilishni tugatmaydi. Agar oldingi hadni keyingi biriga bo'lish koeffitsientini ko'rib chiqsak, u holda biz 0,5 qatorni olamiz; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 va boshqalar. Qizig'i shundaki, bu cheklangan ketma-ketlik birlashadi, u monoton emas, lekin ma'lum bir a'zodan ekstremal qo'shni raqamlarning nisbati har doim taxminan 0,382 ga teng bo'ladi, bu arxitektura, texnik tahlil va boshqa sohalarda ham qo'llanilishi mumkin.
Fibonachchi seriyasining boshqa qiziqarli koeffitsientlari mavjud, ularning barchasi tabiatda alohida rol o'ynaydi va inson tomonidan amaliy maqsadlarda ham qo'llaniladi. Matematiklar koinot ko'rsatilgan koeffitsientlardan hosil bo'lgan ma'lum bir "oltin spiral" bo'yicha rivojlanishiga aminlar. Ularning yordami bilan Yerda va kosmosda sodir bo'ladigan ko'plab hodisalarni hisoblash mumkin, ular ma'lum bakteriyalar sonining ko'payishidan tortib, uzoqdagi kometalarning harakatigacha. Ma'lum bo'lishicha, DNK kodi shunga o'xshash qonunlarga bo'ysunadi.
Geometrik progressiyaning kamayishi
Konvergent ketma-ketlik chegarasining yagonaligini tasdiqlovchi teorema mavjud. Bu uning ikki yoki undan ortiq chegarasiga ega boʻlmasligini anglatadi, bu uning matematik xususiyatlarini topish uchun muhim ahamiyatga ega.
Keling, ba'zilarini ko'rib chiqaylikholatlar. Arifmetik progressiya a'zolaridan tashkil topgan har qanday sonli qator divergent hisoblanadi, nol qadamli hol bundan mustasno. Xuddi shu narsa maxraji 1 dan katta bo'lgan geometrik progressiya uchun ham amal qiladi. Bunday sonli qatorlarning chegaralari cheksizlikning "ortiqcha" yoki "minus"idir. Agar maxraj -1 dan kichik bo'lsa, unda hech qanday chegara yo'q. Boshqa variantlar ham mumkin.
X =(1/4) -1 formulasi bilan berilgan raqamlar qatorini ko'rib chiqing. Bir qarashda, bu konvergent ketma-ketlik chegaralanganligini ko'rish oson, chunki u qat'iy kamayib bormoqda va hech qanday holatda salbiy qiymatlarni qabul qila olmaydi.
Keling, qator a'zolarini yozamiz.
Shunday bo'ladi: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 va boshqalar. Ushbu geometrik progressiyaning 0<q<1 maxrajlaridan qanchalik tez kamayishini tushunish uchun juda oddiy hisob-kitoblar etarli. Terminlarning maxraji cheksiz ortib borsa, ularning o‘zi cheksiz kichik bo‘ladi. Bu raqamlar qatorining chegarasi 0 ekanligini anglatadi. Bu misol konvergent ketma-ketlikning cheklangan xususiyatini yana bir bor ko'rsatadi.
Asosiy ketma-ketliklar
Frantsuz olimi Avgustin Lui Koshi matematik tahlilga oid koʻplab asarlarni dunyoga ochib berdi. U differensial, integral, chegara, uzluksizlik kabi tushunchalarga ta'riflar bergan. Shuningdek, u konvergent ketma-ketliklarning asosiy xususiyatlarini o'rgangan. Uning g'oyalari mohiyatini tushunish uchunba'zi muhim tafsilotlarni umumlashtirish kerak.
Maqolaning boshida shunday ketma-ketliklar borligi koʻrsatilgan ediki, ular uchun real chiziqda maʼlum bir qator aʼzolarini ifodalovchi nuqtalar toʻplanib, tobora koʻproq qatorlana boshlaydi. zich. Shu bilan birga, ular orasidagi masofa keyingi vakilning soni ortib, cheksiz kichikroqqa aylanadi. Shunday qilib, ma'lum bir mahallada ma'lum qator vakillarining cheksiz soni guruhlangan bo'lib, undan tashqarida esa ularning cheklangan soni mavjud. Bunday ketma-ketliklar fundamental deyiladi.
Frantsuz matematigi tomonidan yaratilgan mashhur Koshi mezoni bunday xususiyatning mavjudligi ketma-ketlikning yaqinlashishini isbotlash uchun etarli ekanligini aniq ko'rsatadi. Buning teskarisi ham to'g'ri.
Shuni ta'kidlash kerakki, frantsuz matematikining bu xulosasi asosan sof nazariy qiziqish uyg'otadi. Uni amalda qo'llash ancha murakkab masala hisoblanadi, shuning uchun qatorlarning yaqinlashuvini aniqlashtirish uchun ketma-ketlikning chekli chegarasi mavjudligini isbotlash muhimroqdir. Aks holda, u divergent hisoblanadi.
Masalalarni echishda konvergent ketma-ketliklarning asosiy xossalarini ham hisobga olish kerak. Ular quyida koʻrsatilgan.
Cheksiz summalar
Arximed, Evklid, Evdoks kabi antik davrning mashhur olimlari cheksiz sonlar qatori yigʻindilaridan egri chiziqlar uzunligini, jismlar hajmlarini hisoblashda foydalanganlar.va raqamlar sohalari. Xususan, shu tarzda parabolik segmentning maydonini aniqlash mumkin edi. Buning uchun q=1/4 bo'lgan geometrik progressiyaning son qatorlari yig'indisidan foydalanilgan. Boshqa ixtiyoriy raqamlarning hajmlari va maydonlari xuddi shunday tarzda topilgan. Ushbu variant "charchash" usuli deb nomlangan. G'oya shundan iborat ediki, o'rganilayotgan jism murakkab shaklga ega bo'lib, oson o'lchanadigan parametrlarga ega bo'lgan raqamlar bo'lgan qismlarga bo'lingan. Shu sababli, ularning maydonlari va hajmlarini hisoblash qiyin bo'lmadi, keyin ular qo'shildi.
Aytgancha, shunga o'xshash vazifalar zamonaviy maktab o'quvchilariga juda tanish va USE vazifalarida topilgan. Uzoq ajdodlar tomonidan topilgan noyob usul, eng oddiy yechimdir. Raqamli raqam faqat ikki yoki uchta qismga bo'lingan bo'lsa ham, ularning maydonlarini qo'shish baribir raqamlar qatorining yig'indisi hisoblanadi.
Qadimgi yunon olimlari Leybnits va Nyutondan ancha kechroq oʻzlarining dono oʻtmishdoshlari tajribasiga tayangan holda integral hisoblash qonuniyatlarini oʻrgandilar. Ketma-ketliklarning xossalarini bilish ularga differensial va algebraik tenglamalarni yechishda yordam berdi. Hozirgi vaqtda ko'plab iste'dodli olimlarning sa'y-harakatlari bilan yaratilgan qatorlar nazariyasi juda ko'p sonli matematik va amaliy muammolarni hal qilish imkoniyatini beradi. Raqamli ketma-ketliklarni o'rganish esa, yaratilganidan beri matematik tahlilning asosiy muammosi bo'lib kelgan.
