Oddiy va qisqacha aytganda, qamrov har qanday funktsiya qabul qilishi mumkin bo'lgan qiymatlardir. Ushbu mavzuni to'liq o'rganish uchun siz quyidagi fikrlar va tushunchalarni asta-sekin qismlarga ajratishingiz kerak. Birinchidan, funksiya taʼrifi va uning paydo boʻlish tarixini tushunib olaylik.
Funksiya nima
Barcha aniq fanlar bizga koʻrib chiqilayotgan oʻzgaruvchilar qaysidir maʼnoda bir-biriga bogʻliq boʻlgan koʻplab misollarni taqdim etadi. Masalan, moddaning zichligi uning massasi va hajmi bilan to'liq aniqlanadi. Doimiy hajmdagi ideal gazning bosimi haroratga qarab o'zgaradi. Bu misollar barcha formulalar funktsional deb ataladigan o'zgaruvchilar o'rtasida bog'liqliklarga ega ekanligi bilan birlashtirilgan.
Funksiya bir miqdorning boshqa kattalikka bog’liqligini ifodalovchi tushunchadir. U y=f (x) ko'rinishga ega, bu erda y - funktsiyaning qiymati, x - argumentga bog'liq. Shunday qilib, y ni x qiymatiga bog'liq bo'lgan o'zgaruvchi deb aytishimiz mumkin. X birgalikda qabul qilishi mumkin bo'lgan qiymatlarberilgan funksiyaning sohasi (D(y) yoki D(f)) va shunga mos ravishda y ning qiymatlari funksiya qiymatlari toʻplamini (E(f) yoki E(y)) tashkil qiladi. Funksiya qandaydir formula bilan berilgan holatlar mavjud. Bunday holda, ta'rif sohasi shunday o'zgaruvchilarning qiymatidan iborat bo'lib, unda formulali belgi ma'noga ega.
Mos yoki teng funksiyalar mavjud. Bular amal qiymatlarining teng diapazoniga ega boʻlgan ikkita funksiya, shuningdek, funksiyaning oʻzi ham bir xil argumentlar uchun tengdir.
Aniq fanlarning koʻpgina qonunlari real hayotdagi vaziyatlarga oʻxshab nomlanadi. Matematik funktsiya haqida ham shunday qiziqarli fakt bor. Bir xil chegaraga ega bo'lgan boshqa ikkitasi o'rtasida "sandviçlangan" funktsiya chegarasi haqida bir teorema mavjud - ikkita politsiyachi haqida. Ular buni shunday izohlaydilar: ikki politsiyachi mahbusni o'rtadagi kameraga yetaklagani uchun jinoyatchi u erga borishga majbur bo'ladi va uning boshqa iloji yo'q.
Tarixiy xususiyat ma'lumotnomasi
Funksiya tushunchasi darhol yakuniy va aniq bo'lib qolmadi, u uzoq yo'lni bosib o'tdi. Birinchidan, Fermatning 17-asr oxirida nashr etilgan “Teklik va qattiq joylarni tadqiq etish va oʻrganish” asarida quyidagilar qayd etilgan:
Oxirgi tenglamada ikkita noma'lum bo'lsa, bo'sh joy mavjud.
Umuman olganda, bu asarda funksional bogʻliqlik va uning moddiy qiyofasi (joy=chiziq) haqida soʻz boradi.
Shuningdek, taxminan bir vaqtning o'zida Rene Dekart o'zining "Geometriya" (1637) asarida chiziqlarni ularning tenglamalari bo'yicha o'rgangan, bu erda yana bir haqiqat.ikki miqdorning bir-biriga bog'liqligi.
“Funksiya” atamasi faqat 17-asr oxirida Leybnitsda paydo bo'lgan, ammo uning zamonaviy talqinida emas. U oʻzining ilmiy ishida funksiya egri chiziq bilan bogʻlangan turli segmentlar deb hisoblagan.
Ammo 18-asrda funktsiya to'g'riroq aniqlana boshladi. Bernoulli quyidagilarni yozgan:
Funksiya oʻzgaruvchi va doimiydan tashkil topgan qiymatdir.
Eylerning fikrlari ham bunga yaqin edi:
Oʻzgaruvchi miqdor funksiyasi bu oʻzgaruvchan miqdor va raqamlar yoki doimiy miqdorlarning qandaydir tarzda tuzilgan analitik ifodasidir.
Agar ba'zi miqdorlar boshqalarga shunday bog'liq bo'lsaki, ikkinchisi o'zgarganda ularning o'zi ham o'zgaradi, birinchisi ikkinchisining funktsiyalari deb ataladi.
Funksiya grafigi
Funksiya grafigi koordinata tekisligining o'qlariga tegishli barcha nuqtalardan iborat bo'lib, ularning abssissalari argumentning qiymatlarini oladi va funktsiyaning ushbu nuqtalardagi qiymatlari ordinatalardir.
Funksiya doirasi uning grafigi bilan bevosita bog’liq, chunki har qanday abscissa haqiqiy qiymatlar diapazoni bilan chiqarib tashlansa, u holda grafikda bo’sh nuqtalarni chizish yoki grafikni ma’lum chegaralar ichida chizish kerak. Misol uchun, agar y=tgx ko'rinishdagi grafik olinsa, u holda x=pi / 2 + pin, n∉R qiymati belgilash maydonidan chiqarib tashlanadi, tangens grafigi bo'lsa, siz chizishingiz kerak.y o'qiga parallel vertikal chiziqlar (ular asimptota deb ataladi) ±pi/2 nuqtalardan o'tadi.
Funksiyalarni har qanday chuqur va sinchkovlik bilan o'rganish matematikaning hisob deb ataladigan katta tarmog'ini tashkil qiladi. Boshlangʻich matematikada funksiyalar haqidagi elementar savollarga ham toʻxtalib oʻtadi, masalan, oddiy grafikni qurish va funksiyaning baʼzi asosiy xususiyatlarini oʻrnatish.
Qanday funksiyani sozlash mumkin
Funktsiya mumkin:
- formula boʻlsin, masalan: y=cos x;
- shakldagi har qanday juftlik jadvali (x; y);
- darhol grafik koʻrinishga ega boʻling, buning uchun shaklning oldingi bandidagi (x; y) juftliklar koordinata oʻqlarida koʻrsatilishi kerak.
Ba'zi yuqori darajali masalalarni echishda ehtiyot bo'ling, deyarli har qanday ifoda y (x) funktsiyasi qiymatining ba'zi argumentlariga nisbatan funksiya sifatida ko'rib chiqilishi mumkin. Bunday vazifalarda ta'rif sohasini topish yechimning kaliti bo'lishi mumkin.
Qanday imkoniyatlar mavjud?
Funksiyani oʻrganish yoki qurish uchun uni bilishingiz kerak boʻlgan birinchi narsa uning qamrovidir. Grafik faqat funksiya mavjud bo'lishi mumkin bo'lgan nuqtalarni o'z ichiga olishi kerak. Ta'rif sohasi (x) shuningdek, qabul qilinadigan qiymatlar domeni (ODZ deb qisqartirilgan) deb ham atalishi mumkin.
Funktsiyalar grafigini toʻgʻri va tez qurish uchun siz ushbu funksiyaning sohasini bilishingiz kerak, chunki grafikning koʻrinishi va aniqligi unga bogʻliq.qurilish. Masalan, y=√x funksiyasini qurish uchun x faqat ijobiy qiymatlarni qabul qilishini bilishingiz kerak. Shuning uchun u faqat birinchi koordinatali kvadrantda qurilgan.
Elementar funksiyalar misolidagi ta'rif doirasi
Oʻz arsenalida matematika oz sonli oddiy, aniqlangan funksiyalarga ega. Ular cheklangan doiraga ega. Ushbu muammoni hal qilish sizning oldingizda murakkab deb ataladigan funktsiyaga ega bo'lsa ham, qiyinchiliklarga olib kelmaydi. Bu bir nechta oddiylarning kombinatsiyasi.
- Demak, funksiya kasrli boʻlishi mumkin, masalan: f(x)=1/x. Shunday qilib, o'zgaruvchi (bizning argumentimiz) maxrajda bo'lib, kasrning maxraji 0 ga teng bo'lishi mumkin emasligini hamma biladi, shuning uchun argument 0 dan boshqa har qanday qiymatni olishi mumkin. Belgilanish quyidagicha bo'ladi: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Agar maxrajda o'zgaruvchiga ega bo'lgan ifoda mavjud bo'lsa, unda siz x uchun tenglamani echishingiz va maxrajni 0 ga aylantiradigan qiymatlarni chiqarib tashlashingiz kerak. Sxematik tasvir uchun 5 ta yaxshi tanlangan nuqta etarli. Bu funksiyaning grafigi (0; 0) nuqtadan o'tuvchi vertikal asimptota va Ox va Oy o'qlari kombinatsiyasi bilan giperbola bo'ladi. Agar grafik tasvir asimptotlar bilan kesishsa, bunday xatolik eng yalpi deb hisoblanadi.
- Ammo ildizning domeni nima? O‘zgaruvchini o‘z ichiga olgan radikal ifodali (f(x)=√(2x + 5)) funksiya sohasi ham o‘ziga xos nuanslarga ega (faqat juft daraja ildiziga tegishli). Sifatidaarifmetik ildiz musbat ifoda yoki 0 ga teng bo‘lsa, u holda ildiz ifodasi 0 dan katta yoki teng bo‘lishi kerak, quyidagi tengsizlikni yechamiz: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, demak, buning sohasi. funksiya: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). Grafik parabolaning 90 gradusga aylantirilgan shoxlaridan biri boʻlib, birinchi koordinata kvadrantida joylashgan.
- Agar biz logarifmik funktsiya bilan shug'ullanadigan bo'lsak, unda siz logarifmning asosi va logarifm belgisi ostidagi ifoda bilan bog'liq cheklov mavjudligini yodda tutishingiz kerak, bu holda siz ta'rif sohasini quyidagicha topishingiz mumkin. ergashadi. Bizda funksiya bor: y=loga(x + 7), biz tengsizlikni yechamiz: x + 7 > 0, x > -7. U holda bu funksiyaning sohasi D(y)=x ∈ (-7; +∞)..
- Shuningdek, y=tgx va y=ctgx ko'rinishdagi trigonometrik funktsiyalarga e'tibor bering, chunki y=tgx=sinx/cos/x va y=ctgx=cosx/sinx, shuning uchun siz qiymatlarni chiqarib tashlashingiz kerak bunda maxraj nolga teng bo'lishi mumkin. Agar siz trigonometrik funktsiyalarning grafiklari bilan tanish bo'lsangiz, ularning domenini tushunish oddiy vazifadir.
Murakkab funksiyalar bilan ishlash qanday farq qiladi
Bir nechta asosiy qoidalarni eslang. Agar biz murakkab funktsiya bilan ishlayotgan bo'lsak, unda biror narsani hal qilish, soddalashtirish, kasrlarni qo'shish, eng kichik umumiy maxrajga kamaytirish va ildizlarni ajratib olishning hojati yo'q. Bu funksiyani tekshirishimiz kerak, chunki turli (hatto bir xil) amallar funksiya doirasini oʻzgartirishi mumkin, natijada notoʻgʻri javob beriladi.
Masalan, bizda murakkab funksiya mavjud: y=(x2 - 4)/(x - 2). Kasrning sonini va maxrajini kamaytira olmaymiz, chunki bu faqat x ≠ 2 bo'lganda mumkin va bu funktsiya sohasini topish vazifasidir, shuning uchun biz hisoblagichni omillarga ajratmaymiz va hech qanday tengsizlikni yechmaymiz, chunki funktsiya mavjud bo'lmagan qiymat, yalang'och ko'z bilan ko'rish mumkin. Bu holda x 2 qiymatini qabul qila olmaydi, chunki maxraj 0 ga chiqa olmagani uchun yozuv quyidagicha ko'rinadi: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Oʻzaro funksiyalar
Yangi boshlanuvchilar uchun shuni aytish kerakki, funktsiya faqat ortish yoki pasayish oralig'ida qaytarilishi mumkin. Teskari funksiyani topish uchun yozuvdagi x va y ni almashtirish va x uchun tenglamani yechish kerak. Ta'rif va qiymat domenlari shunchaki teskari.
Qaytarilishning asosiy sharti funksiyaning monoton intervalidir, agar funktsiya ortish va pasayish intervallariga ega boʻlsa, u holda har qanday bir intervalning (oʻsish yoki kamayish) teskari funksiyasini tuzish mumkin.
Masalan, y=exeksponensial funksiya uchun teskarilik natural logarifmik funktsiya y=logea=lna. Trigonometriya uchun bu arc- prefiksli funktsiyalar bo'ladi: y=sinx va y=arcsinx va hokazo. Grafiklar ba'zi o'qlar yoki asimptotalarga nisbatan nosimmetrik tarzda joylashtiriladi.
Xulosa
Qabul qilinadigan qiymatlar diapazonini qidirish funksiyalar grafigini oʻrganishga toʻgʻri keladi (agar mavjud boʻlsa),kerakli o'ziga xos tengsizliklar tizimini qayd etish va yechish.
Demak, ushbu maqola funksiyaning qamrovi nima ekanligini va uni qanday topishni tushunishga yordam berdi. Umid qilamizki, bu sizga asosiy maktab kursini yaxshi tushunishingizga yordam beradi.
