Maktabda qattiq geometriya kursida uchta fazoviy oʻq boʻylab nolga teng boʻlmagan oʻlchamlarga ega boʻlgan eng oddiy figuralardan biri toʻrtburchak prizma hisoblanadi. Maqolada u qanday figura ekanligini, qanday elementlardan iboratligini, shuningdek uning sirt maydoni va hajmini qanday hisoblashni ko'rib chiqing.
Prizma tushunchasi
Geometriyada prizma fazoviy figura boʻlib, u ikkita bir xil asoslar va shu asoslarning yon tomonlarini bogʻlovchi yon yuzalardan hosil boʻladi. E'tibor bering, ikkala asos ham bir-biriga qandaydir vektor tomonidan parallel ko'chirish operatsiyasi yordamida aylantiriladi. Prizmaning bunday joylashishi uning barcha tomonlari doimo parallelogramm bo'lishiga olib keladi.
Asosiy tomonlarining soni uchtadan boshlab ixtiyoriy bo'lishi mumkin. Bu raqam cheksizlikka moyil bo'lganda, prizma silliq ravishda silindrga aylanadi, chunki uning asosi aylanaga aylanadi va yon parallelogrammalar tutashtirib, silindrsimon sirtni hosil qiladi.
Har qanday koʻpburchak singari prizma ham oʻziga xos xususiyatga egatomonlar (rasmni bog'laydigan tekisliklar), qirralar (har qanday ikki tomon kesishadigan segmentlar) va tepaliklar (uch tomonning uchrashish nuqtalari, prizma uchun ulardan ikkitasi lateral, uchinchisi esa asos). Shaklning uchta elementining miqdori quyidagi ifoda bilan bog'langan:
P=C + B - 2
Bu erda P, C va B mos ravishda qirralar, tomonlar va cho'qqilar soni. Bu ifoda Eyler teoremasining matematik yozuvidir.
Yuqoridagi rasmda ikkita prizma koʻrsatilgan. Ulardan birining (A) negizida muntazam olti burchakli yotadi va yon tomonlari asoslarga perpendikulyar. B-rasmda boshqa prizma ko'rsatilgan. Uning tomonlari endi asoslarga perpendikulyar emas, asosi esa oddiy beshburchakdir.
To'rtburchak prizma nima?
Yuqoridagi ta'rifdan ko'rinib turibdiki, prizma turi birinchi navbatda asosni tashkil etuvchi ko'pburchak turiga qarab belgilanadi (har ikkala asos ham bir xil, shuning uchun ulardan biri haqida gapirish mumkin). Agar bu ko'pburchak parallelogramm bo'lsa, biz to'rtburchak prizma olamiz. Shunday qilib, bu turdagi prizmaning barcha tomonlari parallelogrammdir. To'rtburchak prizmaning o'z nomi bor - parallelepiped.
Parallelepipedning tomonlari soni oltita boʻlib, har bir tomoni unga oʻxshash parallelga ega. Qutining asoslari ikki tomon bo'lgani uchun qolgan to'rttasi yon tomonda.
Parallelepipedning uchlari soni sakkizta boʻlib, prizma uchlari faqat asos koʻpburchaklar choʻqqilarida hosil boʻlishini eslasak, buni koʻrish oson (4x2=8). Eyler teoremasini qo'llagan holda, biz qirralarning sonini olamiz:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
12 qovurg'adan faqat 4 tasi mustaqil ravishda yon tomondan hosil bo'ladi. Qolgan 8 tasi shakl asoslari tekisliklarida yotadi.
Keyingi maqolada biz faqat to'rtburchak prizmalar haqida gapiramiz.
Parallelepipedlarning turlari
Tasniflashning birinchi turi - parallelogrammaning asosiy xususiyatlari. Bu shunday ko'rinishi mumkin:
- muntazam, burchaklari 90o ga teng emas;
- toʻrtburchak;
- kvadrat oddiy toʻrtburchakdir.
Tasniflashning ikkinchi turi - bu tomonning asosni kesib o'tgan burchagi. Bu yerda ikki xil holat boʻlishi mumkin:
- bu burchak toʻgʻri emas, u holda prizma qiya yoki qiya deyiladi;
- burchak 90o boʻlsa, bunday prizma toʻrtburchak yoki shunchaki tekis boʻladi.
Tasniflashning uchinchi turi prizma balandligi bilan bog’liq. Agar prizma to'rtburchak, asosi esa kvadrat yoki to'rtburchak bo'lsa, u kuboid deb ataladi. Agar poydevorda kvadrat bo'lsa, prizma to'rtburchak bo'lib, uning balandligi kvadrat tomonining uzunligiga teng bo'lsa, biz taniqli kub shaklini olamiz.
Prizma yuzasi va maydoni
Prizmaning ikkita asosida yotuvchi barcha nuqtalar toʻplami(paralelogrammalar) va uning yon tomonlarida (to'rtta parallelogramm) figuraning sirtini hosil qiladi. Ushbu sirtning maydoni taglikning maydonini va yon sirt uchun ushbu qiymatni hisoblash orqali hisoblanishi mumkin. Keyin ularning yig'indisi kerakli qiymatni beradi. Matematik jihatdan bu quyidagicha yoziladi:
S=2So+ Sb
Bu yerda So va Sb mos ravishda taglik va yon yuzaning maydoni. So oldidan 2 raqami paydo boʻladi, chunki ikkita asos mavjud.
Yozma formula faqat toʻrtburchak prizmaning maydoni uchun emas, balki har qanday prizma uchun amal qiladi.
Sp parallelogrammning maydoni quyidagi formula bilan hisoblanganini esga olish foydalidir:
Sp=ah
Bu yerda a va h belgilari mos ravishda uning bir tomonining uzunligini va shu tomonga chizilgan balandlikni bildiradi.
Kvadrat asosli toʻrtburchak prizmaning maydoni
Muntazam to'rtburchak prizmada asos kvadratdir. Aniqlik uchun uning tomonini a harfi bilan belgilaymiz. Muntazam to'rtburchak prizmaning maydonini hisoblash uchun siz uning balandligini bilishingiz kerak. Ushbu miqdorning ta'rifiga ko'ra, u bir asosdan ikkinchisiga tushirilgan perpendikulyar uzunligiga teng, ya'ni ular orasidagi masofaga teng. Uni h harfi bilan belgilaymiz. Ko‘rib chiqilayotgan prizma turi uchun barcha yon yuzlar asoslarga perpendikulyar bo‘lganligi sababli, muntazam to‘rtburchak prizmaning balandligi uning yon chetining uzunligiga teng bo‘ladi.
BPrizma sirtining umumiy formulasi ikkita shartdir. Bu holda bazaning maydonini hisoblash oson, u quyidagilarga teng:
So=a2
Yanal yuzaning maydonini hisoblash uchun biz quyidagicha bahslashamiz: bu sirt 4 ta bir xil to'rtburchaklar tomonidan yaratilgan. Bundan tashqari, ularning har birining tomonlari a va h ga teng. Bu shuni anglatadiki, Sb maydoni quyidagilarga teng bo'ladi:
Sb=4ah
E'tibor bering, mahsulot 4a kvadrat asosning perimetri hisoblanadi. Agar bu ifodani ixtiyoriy asos holatiga umumlashtirsak, to'rtburchaklar prizma uchun yon sirtni quyidagicha hisoblash mumkin:
Sb=Poh
Bu erda Po - asosning perimetri.
Muntazam to'rtburchak prizmaning maydonini hisoblash masalasiga qaytsak, yakuniy formulani yozishimiz mumkin:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Qiya parallelepipedning maydoni
Uni hisoblash toʻrtburchakka qaraganda biroz qiyinroq. Bunday holda, to'rtburchaklar prizmaning asosiy maydoni parallelogramm bilan bir xil formuladan foydalanib hisoblanadi. O'zgarishlar lateral sirt maydonini aniqlash usuliga tegishli.
Buni amalga oshirish uchun yuqoridagi paragrafda berilgan perimetr boʻylab bir xil formuladan foydalaning. Faqat endi u biroz boshqacha ko'paytirgichlarga ega bo'ladi. Egri prizma holatida Sb ning umumiy formulasi:
Sb=Psrc
Bu yerda c - rasmning yon chetining uzunligi. Psr qiymati to’rtburchaklar kesimning perimetri hisoblanadi. Bu muhit quyidagicha qurilgan: ularning barchasiga perpendikulyar bo'lishi uchun barcha yon yuzlarni tekislik bilan kesish kerak. Olingan to'rtburchak kerakli kesim bo'ladi.
Yuqoridagi rasmda qiyshiq quti misoli koʻrsatilgan. Uning ko'ndalang kesilgan qismi yon tomonlar bilan to'g'ri burchak hosil qiladi. Bo'limning perimetri Psr. U lateral parallelogrammalarning to'rtta balandligidan hosil bo'ladi. Ushbu to'rtburchak prizma uchun lateral sirt maydoni yuqoridagi formuladan foydalanib hisoblanadi.
Kuboid diagonalining uzunligi
Parallelepipedning diagonali - umumiy tomonlari bo'lmagan ikkita cho'qqini bog'lovchi segment. Har qanday to'rtburchak prizmada faqat to'rtta diagonal mavjud. Poydevorida to‘rtburchak bo‘lgan kuboid uchun barcha diagonallarning uzunligi bir-biriga teng.
Quyidagi rasmda mos keladigan raqam koʻrsatilgan. Qizil segment uning diagonali.
Uning uzunligini hisoblash juda oddiy, agar siz Pifagor teoremasini eslasangiz. Har bir talaba kerakli formulani olishi mumkin. U quyidagi shaklga ega:
D=√(A2+ B2 + C2)
Bu yerda D diagonal uzunligi. Qolgan belgilar qutining yon tomonlari uzunligidir.
Koʻpchilik parallelepiped diagonalini uning yon tomonlari diagonallari bilan chalkashtirib yuborishadi. Quyida rangli bo'lgan rasm mavjudsegmentlar rasm tomonlarining diagonallarini ifodalaydi.
Ularning har birining uzunligi ham Pifagor teoremasi bilan aniqlanadi va tegishli tomonlar uzunliklari kvadratlari yigʻindisining kvadrat ildiziga teng.
Prizma hajmi
Muntazam to'rtburchak prizma yoki boshqa turdagi prizmalarning maydonidan tashqari, ba'zi geometrik masalalarni hal qilish uchun siz ularning hajmini ham bilishingiz kerak. Mutlaqo har qanday prizma uchun bu qiymat quyidagi formula bilan hisoblanadi:
V=Soh
Agar prizma toʻgʻri burchakli boʻlsa, unda shakl hajmini olish uchun uning asosining maydonini hisoblab, yon chetining uzunligiga koʻpaytirish kifoya.
Agar prizma oddiy toʻrtburchak prizma boʻlsa, uning hajmi quyidagicha boʻladi:
V=a2h.
Bu formula kub hajmining ifodasiga aylantirilishini tushunish oson, agar h yon chetining uzunligi asosning a tomoniga teng boʻlsa.
Kuboid bilan muammo
O`rganilayotgan materialni mustahkamlash uchun quyidagi masalani yechamiz: tomonlari 3 sm, 4 sm va 5 sm bo`lgan to`g`ri burchakli parallelepiped bor. Uning sirt maydoni, diagonal uzunligi va hajmini hisoblash kerak.
Aniqlik uchun biz figuraning asosini tomonlari 3 sm va 4 sm boʻlgan toʻrtburchaklar deb faraz qilamiz. Unda uning maydoni 12 sm2, nuqta esa. 14 sm. Prizmaning sirt maydoni formulasidan foydalanib, biz olamiz:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94cm2
Diagonal uzunligi va figuraning hajmini aniqlash uchun bevosita yuqoridagi ifodalardan foydalanishingiz mumkin:
D=√(32+42+52)=7 071 sm;
V=345=60cm3.
Qiya parallelepiped bilan bogʻliq muammo
Quyidagi rasmda qiya prizma ko'rsatilgan. Uning tomonlari teng: a=10 sm, b=8 sm, c=12 sm. Bu raqamning sirt maydonini topishingiz kerak.
Birinchidan, poydevorning maydonini aniqlaymiz. Rasmda oʻtkir burchak 50o ekanligini koʻrsatadi. Keyin uning maydoni:
So=ha=sin(50o)ba
Yana yuzaning maydonini aniqlash uchun siz soyali to'rtburchakning perimetrini topishingiz kerak. Bu toʻrtburchakning tomonlari asin(45o) va bsin(60o). U holda bu to‘rtburchakning perimetri:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
Ushbu qutining umumiy sirt maydoni:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Biz masala sharti maʼlumotlarini rasm tomonlari uzunligi oʻrniga qoʻyamiz, javobni olamiz:
S=458, 5496 sm3
Bu masala yechimidan koʻrinib turibdiki, qiya figuralarning maydonlarini aniqlashda trigonometrik funksiyalardan foydalaniladi.
