Funksiyaning ekstremum nuqtalari nima ekanligini tushunish uchun birinchi va ikkinchi hosilalarning mavjudligi haqida bilish va ularning fizik ma'nosini tushunish umuman shart emas. Avval quyidagilarni tushunishingiz kerak:
- funksiya ekstremasi o'zboshimchalik bilan kichik mahallada funksiya qiymatini maksimal darajaga ko'tarish yoki aksincha minimallashtirish;
- Ekstremum nuqtada funksiya uzilishi boʻlmasligi kerak.
Va endi xuddi shunday, faqat oddiy tilda. Sharikli qalamning uchiga qarang. Agar qalam vertikal ravishda, yozuv oxirigacha joylashtirilsa, to'pning eng o'rtasi ekstremal nuqta - eng yuqori nuqta bo'ladi. Bunday holda, biz maksimal haqida gapiramiz. Endi, agar siz qalamni yozuv uchi bilan pastga qaratsangiz, to'pning o'rtasida allaqachon minimal funktsiya bo'ladi. Bu erda keltirilgan rasm yordamida siz ish yuritish qalami uchun sanab o'tilgan manipulyatsiyalarni tasavvur qilishingiz mumkin. Demak, funksiyaning ekstremal nuqtalari har doim kritik nuqtalar: uning maksimal yoki minimali. Grafikning qo'shni qismi o'zboshimchalik bilan keskin yoki silliq bo'lishi mumkin, lekin u har ikki tomonda ham mavjud bo'lishi kerak, faqat bu holda nuqta ekstremumdir. Agar diagramma faqat bir tomonda bo'lsa, bu nuqta bir tomonda bo'lsa ham ekstremum bo'lmaydiekstremal shartlar bajariladi. Endi funksiyaning ekstremalini ilmiy nuqtai nazardan o‘rganamiz. Nuqtani ekstremum deb hisoblash uchun quyidagilar zarur va yetarli:
- birinchi hosila nolga teng edi yoki shu nuqtada mavjud emas edi;
- birinchi hosila shu nuqtada oʻz belgisini oʻzgartirdi.
Shart yuqori tartibli hosilalar nuqtai nazaridan biroz boshqacha talqin qilinadi: nuqtada differentsiallanadigan funktsiya uchun nolga teng bo'lmagan toq tartibli hosila bo'lishi kifoya. pastki tartibli hosilalar mavjud bo'lishi va nolga teng bo'lishi kerak. Bu oliy matematika darsliklaridagi teoremalarning eng oddiy talqini. Ammo eng oddiy odamlar uchun bu fikrni misol bilan tushuntirishga arziydi. Asos - oddiy parabola. Zudlik bilan bron qiling, nol nuqtada u minimal bo'ladi. Bir oz matematika:
- birinchi hosila (X2)|=2X, nol nuqta uchun 2X=0;
- ikkinchi hosila (2X)|=2, nol nuqta uchun 2=2.
Bu birinchi tartibli hosilalar uchun ham, yuqori tartibli hosilalar uchun ham funksiyaning ekstremumlarini aniqlaydigan shartlarning oddiy tasviri. Bunga qo'shimcha qilishimiz mumkinki, ikkinchi hosila bir oz yuqoriroq muhokama qilingan nolga teng bo'lmagan toq tartibli bir xil hosiladir. Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremallari haqida gap ketganda, ikkala argument uchun shartlar bajarilishi kerak. Qachonumumlashtirish sodir bo'ladi, keyin qisman hosilalar ishlatiladi. Ya'ni, ekstremumning har ikkala birinchi tartibli hosilalari nolga teng bo'lgan yoki hech bo'lmaganda bittasi mavjud bo'lmagan nuqtada mavjudligi uchun zarurdir. Ekstremum mavjudligining etarliligi uchun ikkinchi tartibli hosilalar ko'paytmasi bilan funktsiyaning aralash ikkinchi tartibli hosilasi kvadrati o'rtasidagi farq bo'lgan ifoda tekshiriladi. Agar bu ifoda noldan katta boʻlsa, u holda ekstremum bor, agar nol boʻlsa, savol ochiq qoladi va qoʻshimcha tadqiqot talab etiladi.
