Bu nima - konus? Ta'rif, xossalar, formulalar va masalani yechishga misol

2024 Muallif: Angel Austin | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-01-02 17:58

Konus aylanishning fazoviy figuralaridan biri boʻlib, uning xarakteristikalari va xossalari stereometriya orqali oʻrganiladi. Ushbu maqolada biz ushbu raqamni aniqlaymiz va konusning chiziqli parametrlarini uning sirt maydoni va hajmi bilan bog'laydigan asosiy formulalarni ko'rib chiqamiz.

Konus nima?

Geometriya nuqtai nazaridan, biz fazodagi ma'lum bir nuqtani silliq tekis egri chiziqning barcha nuqtalari bilan bog'laydigan to'g'ri segmentlar to'plamidan hosil bo'lgan fazoviy figura haqida bormoqda. Bu egri doira yoki ellips bo'lishi mumkin. Quyidagi rasmda konus ko'rsatilgan.

Taqdim etilgan rasmda hajm yo'q, chunki uning yuzasi devorlari cheksiz kichik qalinlikka ega. Biroq, agar u modda bilan to'ldirilgan bo'lsa va yuqoridan egri chiziq bilan emas, balki tekis shakl, masalan, aylana bilan chegaralangan bo'lsa, biz qattiq hajmli jismga ega bo'lamiz, uni odatda konus deb ham atashadi.

Konusning shakli hayotda tez-tez uchrab turadi. Shunday qilib, unda muzqaymoq yoki chiziqli qora va to‘q sariq rangli konuslar yo‘l harakati ishtirokchilarining e’tiborini jalb qilish uchun yo‘lga qo‘yilgan.

Konusning elementlari va uning turlari

Konus ko'pburchak bo'lmagani uchun uni tashkil etuvchi elementlar soni ko'p yuzli kabi ko'p emas. Geometriyada umumiy konus quyidagi elementlardan iborat:

• baza, chegaralovchi egri chizigʻi direktrisa yoki generatrix deb ataladi;
• qirrali yuzaning, bu cho'qqi va yo'n altiruvchi egri chiziq nuqtalarini bog'laydigan to'g'ri chiziq segmentlarining (generatrislarning) barcha nuqtalari yig'indisi;
• vertex, bu generatrislarning kesishish nuqtasi.

Esda tutingki, choʻqqi poydevor tekisligida yotmasligi kerak, chunki bu holda konus yassi shaklga aylanadi.

Agar biz yuqoridan poydevorga perpendikulyar segment chizsak, biz rasmning balandligini olamiz. Agar oxirgi asos geometrik markazda kesishsa, u to'g'ri konusdir. Agar perpendikulyar poydevorning geometrik markaziga to'g'ri kelmasa, u holda raqam moyil bo'ladi.

To'g'ri va qiya konuslar rasmda ko'rsatilgan. Bu yerda konus asosining balandligi va radiusi mos ravishda h va r bilan belgilanadi. Shaklning yuqori qismini va asosning geometrik markazini bog'laydigan chiziq konusning o'qi hisoblanadi. Rasmdan ko'rinib turibdiki, to'g'ri figura uchun balandlik shu o'qda yotadi, qiya figura uchun esa balandlik o'q bilan burchak hosil qiladi. Konusning o'qi a harfi bilan ko'rsatilgan.

Dumaloq asosli tekis konus

Ehtimol, bu konus ko'rib chiqilayotgan figuralar sinfining eng keng tarqalganidir. U aylana va yon tomondan iboratyuzalar. Uni geometrik usullar bilan olish qiyin emas. Buning uchun to'g'ri burchakli uchburchakni oling va uni oyoqlardan biriga to'g'ri keladigan o'q atrofida aylantiring. Shubhasiz, bu oyoq shaklning balandligiga aylanadi va uchburchakning ikkinchi oyog'ining uzunligi konusning asosining radiusini tashkil qiladi. Quyidagi diagrammada ko'rib chiqilayotgan aylanish ko'rsatkichini olishning tavsiflangan sxemasi ko'rsatilgan.

Tasvirlangan uchburchakni boshqa oyoq atrofida aylantirish mumkin, buning natijasida asosiy radiusi kattaroq va balandligi birinchisiga qaraganda pastroq boʻlgan konus hosil boʻladi.

Dumaloq to'g'ri konusning barcha parametrlarini bir ma'noda aniqlash uchun uning chiziqli xarakteristikasidan istalgan ikkitasini bilish kerak. Ular orasida radiusi r, balandligi h yoki avlodning uzunligi g farqlanadi. Bu miqdorlarning barchasi ko'rib chiqilayotgan to'g'ri burchakli uchburchak tomonlarining uzunligidir, shuning uchun Pifagor teoremasi ularning ulanishi uchun amal qiladi:

g²=r²+ h^2.

Yuza maydoni

Har qanday uch oʻlchamli figuraning sirtini oʻrganishda uning ishlanmasini tekislikda qoʻllash qulay. Konus bundan mustasno emas. Dumaloq konus uchun ishlanma quyida ko'rsatilgan.

Biz rasmning ochilishi ikki qismdan iborat ekanligini ko'ramiz:

1. Konusning asosini tashkil etuvchi doira.
2. Shaklning konussimon yuzasi bo'lgan doira sektori.

Doira maydonini topish oson va tegishli formulani har bir talaba biladi. Dairesel sektor haqida gapirganda, biz buni ta'kidlaymizradiusi g (konusning generatrix uzunligi) bo'lgan doiraning bir qismidir. Ushbu sektorning yoyi uzunligi poydevorning aylanasiga teng. Ushbu parametrlar uning maydonini aniq aniqlash imkonini beradi. Tegishli formula:

S=pir2+ pirg.

Ifodadagi birinchi va ikkinchi hadlar mos ravishda asosning konusi va maydonning yon yuzasidir.

Agar generatorning uzunligi g noma'lum bo'lsa, lekin rasmning balandligi h berilgan bo'lsa, formulani quyidagicha qayta yozish mumkin:

S=pir²+ pir√(r²+ h^2).

Raqamning hajmi

Toʻgʻri piramida olib, uning asosining tomonlarini cheksizda koʻpaytirsak, asosning shakli aylanaga moyil boʻladi, piramidaning yon yuzasi konussimon sirtga yaqinlashadi. Bu mulohazalar konusning o'xshash qiymatini hisoblashda piramida hajmi formulasidan foydalanishga imkon beradi. Konusning hajmini formuladan foydalanib topish mumkin:

V=1/3hS_o.

S_{o maydoniga ega bo'lgan konusning asosi nima bo'lishidan qat'i nazar, bu formula har doim to'g'ri bo'ladi. Bundan tashqari, formula qiya konusga ham tegishli.}

Biz dumaloq asosli toʻgʻri figuraning xossalarini oʻrganayotganimiz uchun uning hajmini aniqlash uchun quyidagi ifodadan foydalanishimiz mumkin:

V=1/3hpir2.

Formula aniq.

Yuza maydoni va hajmini topish muammosi

Radiusi 10 sm, generatrix uzunligi 20 bo'lgan konus berilsin. Bu shakl uchun hajm va sirt maydonini aniqlash kerak. ga qarang.

S maydonini hisoblash uchun darhol yuqorida yozilgan formuladan foydalanishingiz mumkin. Bizda:

S=pir²+ pirg=942 sm^2.

Ovoz balandligini aniqlash uchun siz raqamning h balandligini bilishingiz kerak. Biz uni konusning chiziqli parametrlari orasidagi bog'lanishdan foydalanib hisoblaymiz. Biz olamiz:

h=√(g²- r²)=√(20²- 10^{2) ≈ 17, 32 sm.}

Endi siz V formulasidan foydalanishingiz mumkin:

V=1/3hpir²=1/317, 323, 1410^{2 ≈ 1812, 83cm}3^.

E'tibor bering, dumaloq konusning hajmi u yozilgan silindrning uchdan bir qismini tashkil qiladi.