Matematika antik davrdan kelib chiqqan. Uning sharofati bilan arxitektura, qurilish va harbiy fan taraqqiyotning yangi bosqichini berdi, matematika yordamida erishilgan yutuqlar taraqqiyot harakatiga olib keldi. Bugungi kungacha matematika boshqa barcha sohalarda mavjud bo'lgan asosiy fan bo'lib qolmoqda.
Ta'lim olish uchun birinchi sinfdan boshlab bolalar asta-sekin bu muhitga qo'shila boshlaydilar. Matematikani tushunish juda muhim, chunki u yoki bu darajada har bir inson hayoti davomida sodir bo'ladi. Ushbu maqola asosiy elementlardan biri - hosilalarni topish va qo'llashni tahlil qiladi. Ushbu tushuncha qanchalik keng qo'llanilishini hamma ham tasavvur qila olmaydi. Ayrim sohalarda yoki fanlarda hosilalarning 10 dan ortiq qoʻllanilishini koʻrib chiqing.
Funktsiyani oʻrganishda hosilaning qoʻllanilishi
Hosila shunday chegaraargumentning ko'rsatkichi nolga moyil bo'lganda, funktsiya o'sishining uning argumenti o'sishiga nisbati. Hosila funktsiyani o'rganishda ajralmas narsadir. Masalan, u oxirgi, ekstremal, qavariq va botiqlikning ortishi va kamayishini aniqlash uchun ishlatilishi mumkin. Differensial hisob matematika oliy o‘quv yurtlarining 1 va 2-kurs talabalari uchun majburiy o‘quv dasturiga kiritilgan.
Qoʻllanish doirasi va funksiya nollari
Grafikni har qanday oʻrganishning birinchi bosqichi taʼrif sohasini, kamdan-kam hollarda esa qiymatni aniqlashdan boshlanadi. Ta'rif sohasi abscissa o'qi bo'ylab o'rnatiladi, boshqacha qilib aytganda, bu OX o'qidagi raqamli qiymatlar. Ko'pincha qamrov allaqachon o'rnatilgan, ammo agar u bo'lmasa, x argumentining qiymatini baholash kerak. Aytaylik, agar argumentning ba'zi qiymatlari uchun funktsiya mantiqiy bo'lmasa, u holda bu argument doiradan chiqarib tashlanadi.
Funksiyaning nollari oddiy usulda topiladi: f(x) funksiyani nolga tenglashtirish va hosil boʻlgan tenglamani bitta x oʻzgaruvchisiga nisbatan yechish kerak. Tenglamaning olingan ildizlari funksiyaning nollari, ya’ni bu x larda funksiya 0 ga teng.
Oshirish va kamaytirish
Funktsiyalarni monotonlik uchun o'rganish uchun hosiladan foydalanish ikki pozitsiyada ko'rib chiqilishi mumkin. Monotonik funktsiya lotinning faqat ijobiy qiymatlari yoki faqat salbiy qiymatlarga ega bo'lgan toifadir. Oddiy so'zlar bilan aytganda, funktsiya o'rganilayotgan butun intervalda faqat ortadi yoki faqat kamayadi:
- Parametrni oshirish. Funktsiyaf`(x) ning hosilasi noldan katta bo'lsa, f(x) ortadi.
- Kamayuvchi parametr. f`(x) ning hosilasi noldan kichik bo'lsa, f(x) funksiyasi kamayadi.
Tangens va Nishab
Hosilaning funksiyani oʻrganishda qoʻllanilishi funksiya grafigiga berilgan nuqtadagi tangens (burchakka yoʻn altirilgan toʻgʻri chiziq) orqali ham aniqlanadi. Nuqtadagi tangens (x0) – nuqtadan oʻtuvchi va koordinatalari (x0, f(x) boʻlgan funksiyaga tegishli chiziq. 0 )) va qiyaligi f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - funksiya grafigining berilgan nuqtasiga teginish tenglamasi.
Hosilaning geometrik ma’nosi: f(x) funksiyaning hosilasi berilgan x nuqtada shu funksiya grafigiga hosil bo’lgan tangensning qiyaligiga teng. Burchak koeffitsienti, o'z navbatida, tangensning OX o'qiga (abscissa) musbat yo'nalishdagi moyillik burchagi tangensiga teng. Bu natija hosilalarni funktsiya grafigiga qo'llashda asosiy hisoblanadi.
Ekstremum ball
Tadqiqotda hosilani qoʻllash yuqori va past nuqtalarni topishni oʻz ichiga oladi.
Minimum va maksimal ballni topish va aniqlash uchun siz:
- f(x) funksiyaning hosilasini toping.
- Olingan tenglamani nolga o'rnating.
- Tenglamaning ildizlarini toping.
- Yuqori va past nuqtalarni toping.
Ekstremallarni topish uchunxususiyatlari:
- Yuqoridagi usul yordamida minimal va maksimal balllarni toping.
- Bu nuqtalarni asl tenglamaga almashtiring va ymax va ymin
ni hisoblang.
Funksiyaning maksimal nuqtasi f(x) funksiyaning intervaldagi eng katta qiymati, boshqacha aytganda xmax.
Funksiyaning minimal nuqtasi f(x) funksiyaning intervaldagi eng kichik qiymati, boshqacha aytganda xname
Ekstremum nuqtalari maksimal va minimal nuqtalar va funksiyaning ekstremumlari bilan bir xil (ymaks. va yminimum) - ekstremum nuqtalarga mos keladigan funksiya qiymatlari.
Qavariqlik va botiqlik
Siz qavariqlik va botiqlikni chizish uchun hosiladan foydalanish orqali aniqlashingiz mumkin:
- (a, b) oraliqda tekshirilgan f(x) funksiyasi botiq boʻladi, agar funksiya shu oraliqdagi barcha tangenslari ostida joylashgan boʻlsa.
- (a, b) oraliqda oʻrganilgan f(x) funksiyasi qavariq boʻladi, agar funksiya shu oraliq ichidagi barcha tangenslari ustida joylashgan boʻlsa.
Qavariq va botiqlikni ajratib turuvchi nuqta funksiyaning burilish nuqtasi deb ataladi.
Egish nuqtalarini topish uchun:
- Ikkinchi turdagi kritik nuqtalarni toping (ikkinchi hosila).
- Egish nuqtalari ikkita qarama-qarshi belgini ajratib turadigan muhim nuqtalardir.
- Funksiyaning burilish nuqtalarida funksiya qiymatlarini hisoblang.
Qisman hosilalar
Ilovabir nechta noma'lum o'zgaruvchilar qo'llaniladigan masalalarda bu turdagi hosilalar mavjud. Ko'pincha bunday hosilalar funksiya grafigini, aniqrog'i, fazoda yuzalar chizilganda uchraydi, bu erda ikkita o'q o'rniga uchta, demak, uchta kattalik (ikki o'zgaruvchi va bitta doimiy) mavjud.
Qisman hosilalarni hisoblashda asosiy qoida bitta oʻzgaruvchini tanlash va qolganlarini doimiylar sifatida koʻrib chiqishdir. Shuning uchun, qisman hosilani hisoblashda, konstanta xuddi sonli qiymatga aylanadi (ko'p hosilalar jadvallarida ular C=const sifatida belgilanadi). Bunday hosilaning ma'nosi z=f(x, y) funksiyaning OX va OY o'qlari bo'yicha o'zgarish tezligini bildiradi, ya'ni qurilgan sirtning chuqurliklari va bo'rtiqlarining tikligini tavsiflaydi.
Fizikadan hosila
Fizikada hosiladan foydalanish keng tarqalgan va muhim. Jismoniy ma'nosi: yo'lning vaqtga nisbatan hosilasi tezlik, tezlanish esa tezlikning vaqtga nisbatan hosilasidir. Jismoniy ma'nodan kelib chiqib, hosila ma'nosini to'liq saqlab qolgan holda, ko'plab sohalarni fizikaning turli sohalariga jalb qilish mumkin.
Hosila yordamida quyidagi qiymatlar topiladi:
- Kinematikada tezlik, bu erda bosib o'tgan masofaning hosilasi hisoblanadi. Agar yo'lning ikkinchi hosilasi yoki tezlikning birinchi hosilasi topilsa, u holda tananing tezlanishi topiladi. Bundan tashqari, moddiy nuqtaning oniy tezligini topish mumkin, lekin buning uchun ∆t va ∆r o'sishini bilish kerak.
- Elektrodinamikada:o'zgaruvchan tokning oniy kuchini, shuningdek elektromagnit induksiyaning EMF ni hisoblash. Loyini hisoblash orqali siz maksimal quvvatni topishingiz mumkin. Elektr zaryadi miqdorining hosilasi o'tkazgichdagi oqim kuchidir.
Kimyo va biologiyada hosila
Kimyo: hosila kimyoviy reaksiya tezligini aniqlash uchun ishlatiladi. Hosilning kimyoviy ma'nosi: funksiya p=p(t), bu holda p - t vaqt ichida kimyoviy reaksiyaga kirishadigan moddaning miqdori. ∆t - vaqt o'sishi, ∆p - modda miqdori ortishi. ∆p ning ∆t ga nisbati chegarasi, bunda ∆t nolga intiladi, kimyoviy reaksiya tezligi deyiladi. Kimyoviy reaksiyaning o'rtacha qiymati ∆p/∆t nisbatdir. Tezlikni aniqlashda barcha kerakli parametrlarni, shartlarni aniq bilish, moddaning va oqim muhitining agregat holatini bilish kerak. Bu turli sohalarda va inson faoliyatida keng qo'llaniladigan kimyoning juda katta jihati.
Biologiya: hosila tushunchasi o'rtacha ko'payish tezligini hisoblash uchun ishlatiladi. Biologik ma'nosi: bizda y=x(t) funktsiyasi mavjud. ∆t - vaqt o'sishi. Keyin ba'zi transformatsiyalar yordamida y`=P(t)=x`(t) funksiyasini - t vaqtdagi populyatsiyaning hayotiy faolligini (o'rtacha ko'payish tezligi) olamiz. Hosildan bunday foydalanish statistikani yuritish, koʻpayish tezligini kuzatish va hokazolarni amalga oshirish imkonini beradi.
Geografiya va iqtisodda hosila
Trivativ geograflarga qaror qabul qilish imkonini beradiaholini topish, seysmografiyada qiymatlarni hisoblash, yadro geofizik ko'rsatkichlarining radioaktivligini hisoblash, interpolyatsiyani hisoblash kabi vazifalar.
Iqtisodiyotda hisob-kitoblarning muhim qismi differensial hisob va hosila hisobi hisoblanadi. Bu, birinchi navbatda, zarur iqtisodiy qadriyatlar chegaralarini aniqlash imkonini beradi. Masalan, eng yuqori va eng past mehnat unumdorligi, xarajatlar, foyda. Asosan, bu qiymatlar funksiya grafiklaridan hisoblab chiqiladi, ular ekstremalarni topadi, kerakli sohada funksiyaning monotonligini aniqlaydi.
Xulosa
Ushbu differentsial hisobning roli, maqolada ta'kidlanganidek, turli ilmiy tuzilmalarda ishtirok etadi. Hosil funksiyalardan foydalanish fan va ishlab chiqarishning amaliy qismida muhim element hisoblanadi. Bizni o'rta maktab va universitetda murakkab grafiklar tuzish, funksiyalarni o'rganish va ishlashni o'rgatgani bejiz emas. Ko'rib turganingizdek, hosilalar va differentsial hisoblarsiz hayotiy ko'rsatkichlar va miqdorlarni hisoblash mumkin emas edi. Insoniyat turli jarayonlarni modellashtirish va ularni tadqiq qilishni, murakkab matematik muammolarni hal qilishni o'rgandi. Darhaqiqat, matematika barcha fanlarning malikasi, chunki bu fan boshqa barcha tabiiy va texnik fanlarning asosini tashkil qiladi.
