Oʻquvchiga giperboloid – uch oʻlchamli obyekt nima ekanligini tasavvur qilishini osonlashtirish uchun avvalo ikki oʻlchovli fazoga toʻgʻri keladigan xuddi shu nomdagi egri giperbolani koʻrib chiqish kerak.
Giperbolaning ikkita o'qi bor: bu rasmda abscissa o'qi bilan mos keladigan haqiqiy o'q va y o'qi bilan xayoliy o'q. Agar siz giperbolaning tenglamasini uning xayoliy o'qi atrofida aylana boshlasangiz, egri chiziqda "ko'rinadigan" sirt bitta varaqli giperboloid bo'ladi.
Agar biz shu tarzda giperbolani oʻzining haqiqiy oʻqi atrofida aylantira boshlasak, u holda egri chiziqning har ikki “yarmi” oʻzining alohida sirtini hosil qiladi va u birgalikda ikkita- deb ataladi. varaqli giperboloid.
Tegishli tekislik egri chizig’ini aylantirish orqali olinadi, ular mos ravishda aylanish giperboloidlari deb ataladi. Ular aylanish o'qiga perpendikulyar barcha yo'nalishlarda parametrlarga ega,aylantirilgan egri chiziqqa tegishli. Umuman olganda, bunday emas.
Giperboloid tenglama
Umuman olganda, sirtni Dekart koordinatalarida (x, y, z) quyidagi tenglamalar bilan aniqlash mumkin:
Revolyutsiya giperboloidida uning atrofida aylanayotgan o'qga nisbatan simmetriyasi a=b koeffitsientlar tengligida ifodalanadi.
Giperboloid xarakteristikalari
Uning hiylasi bor. Biz bilamizki, tekislikdagi egri chiziqlar fokuslarga ega - masalan, giperbola holatida, giperbolaning ixtiyoriy nuqtasidan bitta fokusgacha bo'lgan masofalar farqi moduli, ikkinchisi esa ta'rifi bo'yicha doimiydir, aslida, fokus. ball.
Uch oʻlchamli fazoga oʻtganda taʼrif amalda oʻzgarmaydi: fokuslar yana ikki nuqta boʻlib, ulardan giperboloid yuzasiga tegishli boʻlgan ixtiyoriy nuqtagacha boʻlgan masofalar farqi doimiy boʻladi. Ko'rib turganingizdek, barcha mumkin bo'lgan nuqtalar uchun o'zgarishlardan faqat uchinchi koordinata paydo bo'ldi, chunki endi ular kosmosda o'rnatiladi. Umuman olganda, fokusni aniqlash egri chiziq yoki sirt turini aniqlashga teng: sirt nuqtalari fokuslarga nisbatan qanday joylashganligi haqida gapirib, biz aslida giperboloid nima va u qanday ko'rinishga ega degan savolga javob beramiz.
Shuni esda tutish kerakki, giperbolaning asimptotalari bor - shoxlari cheksizlikka intiladigan to'g'ri chiziqlar. Agar inqilob giperboloidini qurishda asimptotalarni giperbola bilan birga aqliy ravishda aylantirsa, giperboloiddan tashqari asimptotik deb ataladigan konus ham olinadi. Asimptotik konusbir varaqli va ikki varaqli giperboloidlar uchun.
Faqat bir varaqli giperboloidga ega boʻlgan yana bir muhim xususiyat bu toʻgʻri chiziqli generatorlardir. Nomidan ko'rinib turibdiki, bu chiziqlar bo'lib, ular to'liq ma'lum bir sirtda yotadi. Bir varaqli giperboloidning har bir nuqtasidan ikkita to'g'ri chiziqli generator o'tadi. Ular mos ravishda quyidagi tenglamalar tizimi bilan tavsiflangan ikkita qator oilasiga tegishli:
Shunday qilib, bir varaqli giperboloid butunlay ikki oilaning cheksiz sonli toʻgʻri chiziqlaridan iborat boʻlishi mumkin va ulardan birining har bir chizigʻi ikkinchisining barcha chiziqlari bilan kesishadi. Bunday xususiyatlarga mos keladigan sirtlar deyiladi boshqaruvchi; ular bitta to'g'ri chiziqning aylanishi yordamida qurilishi mumkin. Kosmosdagi chiziqlarning (to'g'ri chiziqli generatorlar) o'zaro joylashuvi orqali aniqlash, shuningdek, giperboloid nima ekanligini aniq belgilab berishi mumkin.
Giperboloidning qiziqarli xossalari
Ikkinchi tartibli egri chiziqlar va ularning mos keladigan aylanish sirtlari fokuslar bilan bogʻliq qiziqarli optik xususiyatlarga ega. Giperboloid holatida bu quyidagicha ifodalanadi: agar nur bitta fokusdan otilayotgan bo'lsa, u eng yaqin "devor" dan aks etgan holda, xuddi ikkinchi fokusdan kelgandek yo'nalishni oladi.
Hayotdagi giperboloidlar
Koʻpchilik oʻquvchilar analitik geometriya va ikkinchi tartibli yuzalar bilan tanishishni Aleksey Tolstoyning ilmiy-fantastik romanidan boshlagan boʻlsa kerak."Giperboloid muhandisi Garin". Biroq, yozuvchining o'zi yo giperboloid nima ekanligini yaxshi bilmas edi yoki badiiylik uchun aniqlikdan voz kechdi: tasvirlangan ixtiro jismoniy xususiyatlariga ko'ra, barcha nurlarni bir fokusda to'playdigan paraboloiddir. giperboloidning optik xususiyatlari nurlarning tarqalishi bilan bog'liq).
Giperboloid tuzilmalari arxitekturada juda mashhur: bular bir varaqli giperboloid yoki giperbolik paraboloid shaklida boʻlgan tuzilmalardir. Gap shundaki, faqat ikkinchi darajali aylanish yuzalarida to'g'ri chiziqli generatorlar mavjud: shuning uchun egri konstruktsiyani faqat tekis nurlardan qurish mumkin. Bunday tuzilmalarning afzalliklari, masalan, shamoldan og'ir yuklarga bardosh berish qobiliyatidadir: giperboloid shakli baland inshootlar, masalan, televidenie minoralarini qurishda ishlatiladi.
