Har qanday fazoviy figurani o'rganayotganda uning hajmini qanday hisoblashni bilish muhimdir. Ushbu maqola oddiy toʻrtburchakli piramida hajmining formulasini taqdim etadi, shuningdek, bu formuladan qanday foydalanish kerakligi masalalarni yechish misolida koʻrsatilgan.
Biz qaysi piramida haqida gapirayapmiz?
Har bir oʻrta maktab oʻquvchisi piramida uchburchak va koʻpburchakdan iborat koʻpburchak ekanligini biladi. Ikkinchisi rasmning asosidir. Uchburchaklar asosi bilan bitta umumiy tomoniga ega va piramidaning tepasi boʻlgan bitta nuqtada kesishadi.
Har bir piramida poydevorning yon tomonlari uzunligi, yon qirralarning uzunligi va balandligi bilan tavsiflanadi. Ikkinchisi perpendikulyar segment bo'lib, rasmning yuqori qismidan poydevorga tushirilgan.
Doimiy toʻrtburchakli piramida bu kvadrat asosli figura boʻlib, uning balandligi shu kvadratni markazida kesib oʻtadi. Ehtimol, bu turdagi piramidalarning eng mashhur namunasi qadimgi Misr tosh inshootlaridir. Quyida fotosuratXeops piramidalari.
Oʻrganilayotgan rasmning beshta yuzi bor, ulardan toʻrttasi bir xil yon tomonli uchburchaklardir. Shuningdek, u beshta cho'qqi bilan tavsiflanadi, ulardan to'rttasi asosga tegishli va sakkizta qirrasi (tayanchning 4 qirrasi va yon yuzlarning 4 qirrasi).
To'rtburchakli piramidaning hajmi formulasi to'g'ri
Koʻrib chiqilayotgan raqam hajmi boʻshliqning besh tomondan chegaralangan qismidir. Ushbu hajmni hisoblash uchun biz Sz piramida asosiga parallel boʻlgan kesma maydonining z vertikal koordinatasiga quyidagi bogʻliqligidan foydalanamiz:
Sz=So (h - z/s)2
Bu yerda So - kvadrat asosning maydoni. Agar yozma ifodaga z=h o‘rniga qo‘ysak, Sz uchun nol qiymatini olamiz. Bu z qiymati piramidaning faqat yuqori qismini o'z ichiga oladigan bo'lakka mos keladi. Agar z=0 bo'lsa, biz So tayanch maydonining qiymatini olamiz.
Sz(z) funksiyasini bilsangiz, piramida hajmini topish oson, buning uchun raqamni cheksiz songa kesib tashlash kifoya. qatlamlarni taglikka parallel qilib, keyin integratsiya operatsiyasini bajaring. Men ushbu texnikaga amal qilaman, biz quyidagilarni olamiz:
V=∫0h(Sz)dz=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0h.
Chunki S0kvadrat asosining maydoni, keyin kvadratning yon tomonini a harfi bilan belgilab, biz oddiy to'rtburchak piramidaning hajmi uchun formulani olamiz:
V=1/3a2h.
Endi bu ifodani qanday qoʻllash kerakligini koʻrsatish uchun masalani yechish misollaridan foydalanamiz.
Piramida hajmini uning apotemi va yon cheti orqali aniqlash muammosi
Piramidaning apothemi uning poydevor tomoniga tushirilgan lateral uchburchakning balandligidir. Muntazam piramidada barcha uchburchaklar teng bo'lgani uchun ularning apotemalari ham bir xil bo'ladi. Uning uzunligini hb belgisi bilan belgilaymiz. Yon chetini b deb belgilang.
Piramidaning apotemi 12 sm, yon cheti 15 sm ekanligini bilib, oddiy toʻrtburchakli piramidaning hajmini toping.
Avvalgi xatboshida yozilgan rasm hajmining formulasi ikkita parametrdan iborat: yon uzunligi a va balandligi h. Ayni paytda biz ularning hech birini bilmaymiz, shuning uchun ularning hisob-kitoblarini ko‘rib chiqamiz.
Toʻgʻri burchakli uchburchak uchun Pifagor teoremasidan foydalansangiz, a kvadrat tomonining uzunligini hisoblash oson, bunda gipotenuza cheti b, oyoqlari esa apotema h b va poydevor tomonining yarmi a/2. Biz olamiz:
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
Shartdagi ma'lum qiymatlarni almashtirib, a=18 sm qiymatini olamiz.
Piramidaning h balandligini hisoblash uchun siz ikkita narsani qilishingiz mumkin: to'rtburchakni ko'rib chiqing.gipotenuza-lateral qirrali yoki gipotenuza-apotemali uchburchak. Ikkala usul ham teng va bir xil miqdordagi matematik operatsiyalarni bajarishni o'z ichiga oladi. Keling, gipotenuzasi hb apotemi bo'lgan uchburchakni ko'rib chiqaylik. Undagi oyoqlar h va a / 2 bo'ladi. Keyin biz olamiz:
h=√(hb2-a2/4)=√(12) 2- 182/4)=7, 937 sm.
Endi siz V jild uchun formuladan foydalanishingiz mumkin:
V=1/3a2h=1/31827, 937=857, 196 sm 3.
Shunday qilib, oddiy toʻrtburchakli piramidaning hajmi taxminan 0,86 litrni tashkil qiladi.
Xeops piramidasining hajmi
Endi qiziqarli va amaliy jihatdan muhim masalani hal qilaylik: Gizadagi eng katta piramidaning hajmini toping. Adabiyotlardan ma'lumki, binoning dastlabki balandligi 146,5 metr, poydevorining uzunligi esa 230,363 metrni tashkil qiladi. Bu raqamlar V ni hisoblash uchun formulani qo‘llash imkonini beradi. Biz quyidagilarni olamiz:
V=1/3a2h=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Natijadagi qiymat deyarli 2,6 million m3. Bu hajm tomoni 137,4 metr bo‘lgan kub hajmiga to‘g‘ri keladi.
