8-sinf algebra kursida ikkinchi darajali ko’phadni o’rganishga katta e’tibor beriladi. Agar ushbu material talaba tomonidan yomon o'zlashtirilgan bo'lsa, unda OGE va Yagona davlat imtihonlarida ham profil darajasida, ham bazada muammolar muqarrar. Kvadrat funksiyalar bilan bog‘liq majburiy ko‘nikmalarga grafiklarni tuzish va tahlil qilish, tenglamalarni yechish kiradi.
Kvadrat trinomni koeffitsientlarga ajratish standart maktab muammolaridan biridir. Tengsizlikni intervalli usul bilan yechishda yordamchi hisoblanadi.
Tenglama ildizlarini topish
Koʻphadni faktorlarga ajratish uchun birinchi narsa uning ildizlarini topishdir.
Ildizlar - bu koʻphaddagi monomlar yigʻindisini nolga aylantiruvchi raqamlar boʻlib, ular grafik jihatdan gorizontal oʻq bilan kesishishga oʻxshaydi. Ular diskriminant yoki Vyeta teoremasi yordamida aniqlanadi.
Uch nomli boltaning diskriminanti2 + bx + c formula bilan hisoblanadi: D=b2m- 4ac.
Agar diskriminant manfiy bo'lmasa,ildizlar u orqali ifodalanadi va polinom koeffitsientlari:
x1 =1/2(-b + √D); x2 =1/2(-b - √D)
Agar diskriminant nolga teng boʻlsa, x1va x2 bir xil.
Ba'zi trinomlarni yechish uchun Vieta teoremasidan foydalanish qulay:
x1 + x2 =-b: a; x1 × x2=c: a
Teoremani qoʻllash uchun maʼlum miqdordagi matematik sezgi kerak boʻladi. Xulosa shuki, ikkita noma'lumning yig'indisi va mahsulotini bilib, bu raqamlarni oling. Agar ular mavjud bo'lsa, ular yagona topiladi (almashtirishgacha).
Ildizlarning yig’indisi va mahsulotini umumiy holda hisoblash orqali teoremaning to’g’riligini tekshirishingiz mumkin. x1 va x2 formulalari ham bevosita almashtirish orqali tekshiriladi.
Faktoring qoidasi
Agar polinomning ildizlari boʻlsa, masalani haqiqiy sonlarda yechish mumkin. Parchalanish quyidagi formula bilan aniqlanadi:
ax2 + bx + c=a(x - x1)(x - x2)
Misollar
Muammo: kvadrat uch a'zolarni koeffitsientlarga ajratishni toping.
a) x2 - 6x + 5
Yechimi: trinomiyaning koeffitsientlarini yozing:
a=1; b=-6; c=5.
Vyeta teoremasidan foydalanish:
x1 + x2 =6;
x1 × x2=5.
Koʻrinib turibdiki, x1 =1, x2 =5.
Agar teoremaning yozma tengliklariga ko’ra,ildizlarni tezda topish mumkin, siz darhol diskriminantni hisoblashga o'tishingiz kerak.
Ildizlar topilgach, ularni kengaytirish formulasiga almashtirishingiz kerak:
x2 - 6x + 5=(x - 1)(x - 5)
Ushbu shaklda qayd etilgan natija yakuniy deb hisoblanishi mumkin.
b) 2x2 + x - 1
Yechim:
a=2, b=1, c=-1.
Agar yetakchi koeffitsient 1 dan farq qilsa, Vieta teoremasini qoʻllash odatda diskriminant orqali yechishdan koʻra koʻproq vaqt oladi, shuning uchun uni hisoblashga oʻtamiz.
D=1 - 4 × 2 × (-1)=9.
x1=1/2; x2=-1.
Formula:
2x2 + x - 1=2(x - 1/2)(x + 1).
c)x2 - 8x + 16
Yechim:
a=1; b=-8; c=16.
D=0.
Diskriminant nolga teng boʻlgani uchun bizda ildizlarning mos kelishi holati mavjud:
x1 =x2 =4.
Ammo bu holat avval koʻrib chiqilganlardan tubdan farq qilmaydi.
x2 - 8x + 16=1(x - 4)(x - 4)
Natija odatda quyidagicha yoziladi: (x - 4)2.
d)x2 - 7x + 1
Yechim:
a=1; b=-7; c=1.
D=45.
Bu misol oldingilaridan farq qiladi, chunki diskriminantdan oqilona ildiz chiqarib boʻlmaydi. Bu polinomning ildizlari irratsional ekanligini bildiradi.
x1 =-1/2(7 + √45); x2 =-1/2(7 - √45).
Yoki ekvivalenti, x1=-3, 5 - 1/2√45; x2 =-3, 5 + 1/2√45.
Oxirgi variantni yozishni kengaytirish uchun foydalanish qulayroq. Bu erda 1 ga teng bo'lgan katta koeffitsientni chiqarib tashlasak, biz quyidagilarni olamiz:
x2- 7x + 1=(x + 3,5 + 1/2√45)(x + 3,5 - 1/2√45)
Diskriminant manfiy bo'lsa, maktab o'quv dasturi doirasida quyidagi javob etarli bo'ladi: trinomiyaning ildizlari yo'q va shuning uchun uni faktorlarga ajratib bo'lmaydi. Bunday trinomlar qisqartirilmaydigan deb ham ataladi. Biz faqat haqiqiy ildizlarning mavjudligi yoki yo'qligi haqida gapirayotganimizni tushunish muhimdir.
Agar kompleks sonlar maydoni hisobga olinsa, har qanday diskriminant bilan kvadrat trinomiyani koeffitsientga ajratish mumkin.
Odatdagi xatolar
1) Koʻphadni oʻrganishning boshida koʻpchilik koeffitsientlarni notoʻgʻri yozishadi, masalan, yozuvdagi monomlarning tartibiga eʼtibor berishadi.
Demak, 101- tenglamadagi yetakchi a omili 79x + 38x2 siz oʻylagandek 101 emas, 38.
Tenglama koeffitsientlari bilan bog'liq yana bir xato bu "belgining yo'qolishi" deb ataladi. Xuddi shu misolda koeffitsient b=-79, 79 emas.
2) Vyeta teoremasidan a=1 boʻlganda foydalanishga oʻrganib qolgan maktab oʻquvchilari baʼzan uning toʻliq shakllantirilishini unutishadi. Birinchi xatboshidagi ko'phadda ildizlar yig'indisini 79 deb hisoblash noto'g'ri, chunki birinchi koeffitsient 1 dan farq qiladi.
3) Hisoblash xatolar talabalar uchun eng keng tarqalgan muammo hisoblanadi. Ko'p hollarda tekshirish ularni oldini olishga yordam beradi.almashtirish.
Uchinchi daraja va undan yuqori polinomlar
Maktabda yuqori darajali koʻphadlar kamdan-kam koʻrib chiqiladi, chunki uchinchi va undan yuqori darajali koʻphadlar uchun ildiz topish muammosi mashaqqatli. Uchinchi va to'rtinchi darajali polinomni kengaytirish uchun yuqori hisoblash murakkabligi algoritmlari mavjud. Beshinchi va undan yuqori darajalar uchun umumiy shakldagi radikallardagi tenglamaning yechilmasligi haqidagi teorema isbotlangan.
O’rta maktabda ko’rib chiqilishi mumkin bo’lgan bu ko’phadlarning alohida holatlari ratsional oson tanlangan ildizlarning mavjudligi bilan tavsiflanadi. Ikkinchisining soni polinom darajasidan oshmasligi kerak. Murakkab tekislik bilan ishlaganda ularning soni eng yuqori daraja bilan aynan bir xil bo'ladi.
Toq darajali polinomlar har doim kamida bitta haqiqiy ildizga ega. Buni grafik tarzda ko‘rsatish oson – bunday ko‘phad tomonidan berilgan uzluksiz funksiya ham ijobiy, ham manfiy qiymatlarga ega, ya’ni u 0 dan o‘tadi.
Ikkita koʻphadning barcha ildizlari bir-biriga toʻgʻri keladi, agar ularning koeffitsientlari proportsional boʻlsagina.
Umuman olganda, ildizlarni topish muammosi va parchalanishni qurish muammosini ekvivalent deb hisoblash mumkin.
